Задача № 19 профильного уровня ЕГЭ по математике
С 2015 года ЕГЭ по математике делится на два уровня: базовый и профильный. В демонстрационном варианте, опубликованном на сайте ФИПИ, появилась новая задача повышенного уровня знаний – задача № 19.
В настоящей статье рассматривается решение нескольких видов этой задачи, основанное на применении только одной формулы. Причём, формулу получают с учащимися в результате обсуждения решения задач. Все задачи взяты из книги «Математика. ЕГЭ 2015. Типовые тестовые задания. 30 вариантов» под редакцией . Тридцать предложенных задач можно разделить на шесть групп по пять задач. Рассмотрим решение трёх групп.
Группа 1.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными ежегодными платежами(то есть за 2 года)?Пусть:
- сумма кредита – S; процентная ставка – а; ежегодный платеж (транш) – х.
Сумма долга ежегодно увеличивается:
S + S·0,01a = S(1 + 0,01a)=S·b, где b=1 + 0,01a.
Год | Сумма долга по кредиту в начале года | Сумма долга с начисленными процентами в конце года | Остаток |
1 | S | Sb | Sb - x |
2 | Sb - x | SbІ - bx | x |
31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами(то есть за три года)?
Год | Сумма долга по кредиту в начале года | Сумма долга с начисленными процентами в конце года | Остаток |
1 | S | Sb | Sb - x |
2 | Sb - x | SbІ - bx | SbІ - xb – x |
3 | SbІ - xb – x | Sbі - xbІ - xb | x |
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными ежегодными платежами(то есть за четыре года)?
Год | Сумма долга по кредиту в начале года | Сумма долга с начисленными процентами в конце года | Остаток |
1 | S | Sb | Sb - x |
2 | Sb - x | SbІ - bx | SbІ - xb – x |
3 | SbІ - xb – x | Sbі - xbІ - xb | Sbі - xbІ - xb - x |
4 | Sbі - xbІ - xb - x | Sb4 – xb3 –xb2 - xb | x |
На основании трёх задач обобщаем формулу: где n – количество лет кредитования.
Следующие задачи решаем без таблицы, используя формулу.
31 декабря 2014 года Иван взял в банке 8 540 000 рублей в кредит под 13,5% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 13,5%), затем Иван переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Иван выплатил долг двумя равными ежегодными платежами (то есть за два года)?31 декабря 2014 года Павел взял в банке 8 599 000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Павел переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Павел выплатил долг тремя равными ежегодными платежами(то есть за три года)?
Группа 2.
Задачи решаются по этой же формуле, но необходимо найти сумму кредита S.
31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму Владимир взял в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5 %), затем Михаил переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк 2 662 000 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Группа 3.
В этой группе задач необходимо определить процентную ставку, под которую взят кредит.
31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке?Окончательно получаем:
31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?
31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Максим переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 1 640 250 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 936 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Максим взял деньги в банке?
31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг 4 за года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Олег взял деньги в банке?
Таким образом, одна формула, полученная совместно с учащимися, позволяет решить задачи нескольких видов.
