причем из выражения (1.7) для VС1 следует, что 
.
Тогда упругая сила будет равна:
. (1.19)
Сила вязкого сопротивления 
. Приведенную силу с учетом последних формул для Fуп и R запишем в виде:
. (1.20)
В состоянии по коя приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.20) 
и 
, получаем условие равновесия системы
. (1.21)
Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины
. (1.22)
Учитывая (1.22) в (1.20), получаем о кончательное выра жение для приведенной силы:
. (1.23)
Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное ура внение движения системы:
. (1.24)
Запишем последнее уравнение в в иде:
, (1.25)
где в ведены ко эффициенты, имеющи е определенный физический см ысл:
- циклическая частота свободных колебаний,
- по казатель степени затухания колебаний.
Запишем начальные условия движения:
. (1.2 6)
Выражения (1. 25) и ( 1.26) совместно представляют математическую модель для решен ия второй задачи динамики.
1. 2. Определение закона движения системы.
Проинтегрируем дифференциальное уравнени е (1.25). Пус ть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
, ( 2.1)
где 
- амплитуда возмущающей силы ,
р - циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного уравнения 
и частного ре шения 
неоднородного: 
. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25), имеет вид:
. (2. 2)
Решение этого уравнени я ищем в виде функции
, (2.3)
где А и 
- неопределенные постоянные ве личины.
Подставл яя (2.3) в (2.2), получаем :
.
Так как мы ищем нетривиальное решение, то 
. Следовательно , должно выполняться услов ие
. ( 2.4)
Уравнение (2.4) называется характеристиче ским уравнением дифференциального уравн ения (2.2). Это уравнение имеет два корня :
. ( 2.5)
В зависимости от знака подкорен ного выражения, корни характери стического уравнения могут быть комплексно-сопряженными или дей ствительными. Возможны три случая :
- подкоренное выражение отр ицате льное, следовательно корни компле ксно-сопряженные,
- подкоренное выражение равно нулю, корни действительные, кратные .
- подкоренно е в ыражение больше нуля, корни действительные, разные.
В первом случае (
) об щее ре шение уравнения (2.2) имеет вид:
, (2.6)
где А1, А2 – постоянные интегрирования,
. (2.7 )
Ре шение (2.6), используя известные формулы Эйлера
,
,
не трудно представить в виде:
, (2.8)
где a, 
- по стоя нные интегриро ва ния.
Во втором случ ае ( 
) общее ре шение имеет вид:
. (2.9)
В третьем случае ( 
) общ ее решение имеет вид:
. (2.10)
где
.
Далее предполагается, что в рассматриваемом примере имеет место случай 
.
О пределим частное решение неоднородного дифференциального уравнения
. (2.11)
Ча стное решение и щем в виде пр авой ча сти
. ( 2.12)
Подстав ляя (2.12) в (2.11), после несложных преобразований получаем
Сравнивая коэффициенты при соответствую щих тригонометрических функци ях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоя нных А и В:
,
.
Решая эту систему, получаем следующие выра жени я для ко эф фициентов А и В:
;
. (2.13)
Та ким образом, решение (2.12) определено. Складывая (2.8) и (2.12), получаем об щее решение неоднород ного урав нения (2.11)
. (2.14)
Конс танты а и 
определяются из начальных условий ( 1.26) . Для этого найдем производную по времени от (2.14)
(2.15)
Подчинив (2.14) и (2.15) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констан т
,
.
Решая эту си стему, получаем:
,
. (2.16)
Подставляя (2. 16) в (2.14), получаем закон дв иже ния ме хани зма .
1 .3. Определение реакций внешних и внутрен ни х свя зей.
Для решения этой задачи расчленяем механи зм на отдельные час ти и изображае м рас четные схемы отдельно для каждого рис. 3).
Определение реакций связей проведем с помощью т еоремы об измене нии количества движения
, (3.1)
и т еоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс
. ( 3.2)
В соответствии с расчетными схемами (рис. 3) записываем уравнения (3.1) и (З.2) в про екциях на оси координат
тело 1:
, (3.3)
, (3.4)
; (3.5)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
