Высшая математика

Высшая математика

(доцент )

Вариант  1.

Вычислить предел . Найти производную функции Объем продукции V, производимый бригадой рабочих, может быть выражен функцией , где t — рабочее время в часах; 1 ≤ t ≤ 8. Определить производительность труда бригады через час после начала работы и за час до ее окончания (производительность труда ). Вычислить неопределенный интеграл .
Найти дисперсию и математическое ожидание дискретной случайной величины, равной числу появлений события A в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события A в каждом испытании равна 0.2.

Вариант  2

Вычислить предел . Найти производную функции в точке x = 1. Найти частные производные первого порядка функции . Вычислить определенный интеграл . Страховая компания разделяет застрахованных по трем классам риска. Среди клиентов 50% — первого класса риска, 30% — второго и 20% — третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0.01, второго – 0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования.

Вариант  3

Вычислить предел . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0; 5]. Найти градиент функции в точке .
В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей, изготовленных на заводе №2, и 15 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, будет отличного качества равна 0.6, для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, вероятности равны 0.4 и 0.8 соответственно. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
Исследовать сходимость ряда .

Вариант  4

Вычислить предел . Вычислить дифференциал второго порядка функции в точке x = 1. Найти матрицу , где , , . Найти дисперсию и математическое ожидание дискретной случайной величины, равной числу отказов некоторой системы в десяти независимых испытаниях, если вероятность отказа системы в каждом испытании равна 0.15
Исследовать функцию на непрерывность

Вариант  5

Вычислить предел . Найти полный дифференциал функции трех переменных . Найти матрицу , где , , .
Исследовать сходимость ряда .
Время ожидания автобуса можно считать распределенным равномерно в интервале движения, равном 10 минутам. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать очередной автобус менее трех минут.

Вариант  6

Вычислить предел .
Найти промежутки монотонности функции

Задана функция предельного дохода . Найти функцию дохода R(x), если R(0)=0.
Вычислить определенный интеграл . Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 6 очков при этом выпало ровно 2 раза.

Вариант  7

Вычислить предел . Вычислить дифференциал второго порядка функции в точке x = 1.
Производительность труда рабочего в течение смены определяется функцией . Определить объем V продукции, произведенный рабочим за смену (производительность труда ).
Вычислить неопределенный интеграл .
Два стрелка делают один выстрел по мишени независимо друг от друга. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0.95, вторым — 0.85. Какова вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.

Вариант  8

Найти промежутки монотонности функции . Найти , если . Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 1, . Вычислить определитель матрицы третьего порядка: . Два стрелка делают один выстрел по мишени независимо друг от друга. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0.95, вторым — 0.85. Какова вероятность того, что только один стрелок поразит мишень.

Вариант  9

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1; e].
Вычислить неопределенный интеграл . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью абсцисс.
В ящике находятся 5 красных и 3 зеленых шара. Из ящика извлекают два шара. Какова вероятность того, что оба они красные? Исследовать функцию на непрерывность

Вариант  10

Является ли система векторов (2, 1, 4), (-3, 6, 1), (0, 5, -7) линейно зависимой в пространстве R3?
Вычислить определитель матрицы третьего порядка: .
Решить дифференциальное уравнение первого порядка: .
На двухсоткилометровом участке газопровода между станциями А и В происходит утечка газа. Утечка равновозможна в любой точке газопровода. Найти вероятность того, что она расположена не далее, чем в 20 км от станции А.
Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд .

Вариант  11

Вычислить определенный интеграл . Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 4, . Является ли система векторов линейно зависимой в пространстве R4? Найти обратную для матрицы . Решить дифференциальное уравнение первого порядка: .

Вариант  12

Вычислить неопределенный интеграл . Найти обратную для матрицы . Решить дифференциальное уравнение первого порядка: .
Игральную кость бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 5 очков при этом выпало ровно более одного раза.
Найти радиус сходимости функционального ряда .

Высшая математика

Вопросы к зачёту семестр

Понятие множества. Операции над множествами. Предел последовательности. Переход к пределу в равенствах и неравенствах. Предел функции. Левосторонний и правосторонний пределы. Основные замечательные пределы. Непрерывность функции. Арифметика непрерывных функций. Теорема о существовании корня и о промежуточном значении. Обратная функция. Общая задача условной оптимизации. Классификация бесконечно малых функций. Основные замечательные пределы. Производная функции одной переменной. Геометрический и экономический смысл производной. Таблица производных элементарных функций. Правила и формулы дифференцирования. Уравнение касательной и нормали. Дифференциал. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Признак постоянства, возрастания, убывания функций. Эластичность функции. Формулы Тейлора и Маклорена. Частные производные. Неопределённый интеграл. Свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Методы интегрирования. Определенный интеграл. Определения и свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Двойной интеграл.

Вопросы к экзамену 2 семестр

Дифференциальные уравнения: общие понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Интегрирующий множитель. ДУ с разделяющимися и разделенными переменными. Линейные ДУ первого порядка. Точные ДУ первого порядка. ДУ с однородными функциями. Задача Коши для ДУ высших порядков. Типы ДУ, допускающие понижение порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Теорема о локальной устойчивости. Устойчивость по Ляпунову решений ДУ. Асимптотическая устойчивость решений ДУ. Ряды: основные понятия и свойства. Поточечная и равномерная сходимость. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения. Функциональные ряды. Признак равномерной сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Условная и абсолютная сходимость. Основные свойства абсолютно сходящихся рядов. Степенные ряды. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости ряда. Приложения степенных рядов. Ряды Фурье екторное пространство действительных чисел. перации над векторами и их свойства. Линейно независимые системы векторов. Элементарные преобразования систем векторов. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования строк матрицы. Метод Гаусса. Алгоритм метода Гаусса. Следствия метода Гаусса. Матричное уравнение. Невырожденная матрица. Обратные матрицы. Алгебраическое дополнение. Определители. Свойства определителей.

.

Вопросы к экзамену 3 семестр

Достоверное, невозможное, случайное, противоположное события, их вероятности. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятностей. Относительная частота и частотный смысл вероятности случайного события Вероятность суммы двух случайных событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых случайных событий. Понятие гипотез. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Числовые характеристики случайных величин и их свойства. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Показательное распределение. Закон больших чисел (теорема Бернулли). Общие свойства интегральной функции распределения. Непрерывная случайная величина, свойства плотности вероятностей. Плотность вероятностей гауссовой (нормальной) случайной величины. Определение и основные свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Основные понятия математической статистики. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценки параметров. Оценка математического ожидания. Оценка дисперсии. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Проверка статистических гипотез.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

, , Кузнецов для экономистов на базе MathCad. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003 , , Коробко методы и модели для менеджмента. — СПб.: Издательство «Лань», 2000 Конюховский методы исследования операций в экономике — СПб.: Издательство «Питер», 2000 , , Кузьмич методы и модели в экономике: Учеб. пособие. — Мн.: ТетраСистемс, 2002 Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие/ , , и др.; Под общ. ред. . — Мн.: БГЭУ, 1999