Математический дозор

Математический дозор

№	Задания
Сколько натуральных чисел находится в промежутке от -6 до 6,4?
В доме, в котором живёт Сергей, один подъезд. На каждом этаже по 4 квартиры. Сергей живёт в квартире № 19. На каком этаже живёт Сергей?
Значение какого из следующих выражений является наибольшим? 1) 2,3+2 2) 3) 4)
Поезд «Енисей» отправляется из Новосибирска в 16:54, а прибывает в Красноярск в 04:40 на следующий день (время отправления и прибытия московское). Сколько приблизительно часов поезд находится в пути?
Кофейник на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 630 р. Сколько рублей стоил кофейник  до распродажи?
Какая из фигур на рисунке имеет наибольшее число осей симметрии?   2) 3)  4)
Сила тока в участке цепи вычисляется по формуле (закон Ома). Пользуясь этой  формулой, вычислите сопротивление цепи с напряжением U=220 Вольт  и силой тока I=5 Ампер. Ответ дайте в Омах без указания единиц измерения.
Аня, Денис, Катя и Слава бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Денис.
Вычислите высоту Эйфелевой башни в Париже (в метрах), если она отбрасывает тень длиной 400 м в тот момент, когда длина тени стоящего рядом с ней шеста длиной 1,5 м равна 2 м.
Решите уравнение:
На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 30 минут дебатов?
Прочитайте задачу: «На изготовление 400 деталей первый рабочий затрачивает на 3 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?» Выберите уравнение, соответствующее условию задачи:   3)      4)
Имеется 2 пакетика семян редиса весом по 10 г. Известно, что расход семян составляет 3,5 г на 1 м2. Какое количество целых прямоугольных грядок длиной 3 м и шириной 60 см можно засадить этими семенами?
Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Кристалл искусственного алмаза представляет собой октаэдр (см. рисунок). Его поверхность состоит из восьми равных  равносторонних  треугольников со стороной 1 мм. Вычислите площадь поверхности кристалла  в мм2. Ответ округлите до целого числа.

Решения к заданиям «Математического дозора»

Задание № 1.

Сколько натуральных чисел находится в промежутке от -6 до 6,4?

Решение:

Натуральными числами называются числа, которыми ведется счет предметов.

В промежутке от -6 до 6,4 находятся натуральные числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Всего 6 натуральных чисел.

Ответ: 6.

Примечание: число 0 в школьном курсе математики не относится к множеству натуральных чисел N. Иногда для удобства построения математической теории это число присоединяют к множеству натуральных чисел, получая расширенное множество N0.

Задание № 2.

В доме, в котором живёт Сергей, один подъезд. На каждом этаже по 4 квартиры. Сергей живёт в квартире № 19. На каком этаже живёт Сергей?

Решение:

Чтобы найти этаж, на котором находится квартира № 19, выполним деление с остатком: 19 = 4 ∙ 4 + 3, т. е. 4 этажа и еще 3 квартиры. Значит, указанная квартира находится на 5 этаже.

Ответ: 5.

Задание № 3.

Значение какого из следующих выражений является наибольшим?

1) 2,3+2         2)                3)                4)

Решение:

Вычислим или оценим значения данных выражений:

2,3 + 2 = 4,3; <, т. е. < 4; 2==, < 4; = = = 4,75.

Значит, наибольшее значение имеет последнее выражение.

Ответ: 4.

Задание № 4.

Поезд «Енисей» отправляется из Новосибирска в 16:54, а прибывает в Красноярск в 04:40 на следующий день (время отправления и прибытия московское). Сколько приблизительно часов поезд находится в пути?

Решение:

С 16:54 до полуночи поезд находится в пути 7 ч 6 мин, от полуночи до 04:40 еще 4 ч 40 мин. Всего: 7ч 6 мин + 4ч 40 мин= 11ч 46 мин, т. е. приблизительно 12 часов (по правилам округления).

Ответ: 12.

Задание № 5.

Кофейник на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 630 р. Сколько рублей стоил кофейник  до распродажи?

Решение:

Решим задачу по действиям:

найдем, сколько рублей составляют 1% первоначальной цены кофейника: 630:60 = 10,5 (руб.); найдем, сколько рублей составляют 100%, т. е. первональную цену кофейника:

10,5 ∙ 100 = 1050 (руб.).

Примечание:

Задачу можно решить по правилу нахождения числа по его проценту.

Чтобы найти число по его дроби, выраженной в процентах, нужно его известную часть разделить на эту дробь:  630 : 60% = 630 : 0,6 = 1050 (руб.).

Ответ: 1050.

Задание № 6.

Какая из фигур на рисунке имеет наибольшее число осей симметрии?

  2)

3)  4)

Решение:

Фигура 1) – круг имеет бесконечно много осей симметрии. Все остальные фигуры из задания – многоугольники, имеют конечное число осей симметрии.

Ответ: 1.

Задание № 7.

Сила тока в участке цепи вычисляется по формуле I = U/R (закон Ома). Пользуясь этой формулой, вычислите сопротивление цепи с напряжением
U = 220 Вольт и силой тока I = 5 Ампер. Ответ дайте в Омах без указания единиц измерения.

Решение:

Из формулы I = U/R  выразим сопротивление: R = U/I. Подставим в эту формулу данные значения U = 220В и I = 5А:  R = 220/5; R = 44(Ом).

Ответ: 44.

Задание № 8.

Аня, Денис, Катя и Слава бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Денис.

Решение:

Чтобы найти вероятность события, надо число благоприятных исходов разделить на число всех исходов. Всего детей 4, игру может начинать каждый из 4-х, т. е. число всех возможных исходов равно 4. А вероятность того, что игру будет начинать конкретный ребенок, например, Денис равна ј или 0,25.

Ответ: 0,25.

Задание № 9.

Вычислите высоту Эйфелевой башни в Париже (в метрах), если она отбрасывает тень длиной 400 м в тот момент, когда длина тени стоящего рядом с ней шеста длиной 1,5 м равна 2 м.

Решение:

Высота шеста составляет ѕ части от длины его тени. Значит, и высота Эйфелевой башни в этот момент также сотавляет ѕ от длины ее тени, т. е. 300 м.

Обоснование решения следует из подобия треугольников (см. рисунок):

                                                       

       ;  x = 300.

Ответ: 300.

Задание № 10.

Решите уравнение:

Решение:

; ; x – 1 = 3; x = 3 + 1; x = 4.

Ответ: 4.

Задание № 11.

На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 30 минут дебатов?

Решение:

На рисунке видно, что через 30 минут от начала голосования кандидаты А и В получили одинаковое число голосов: за каждого из кандидатов проголосовали по 25 тысяч телезрителей, т. е.  всего проголосовало 50 тысяч телезрителей.

Ответ: 50.

Задание № 12.

Прочитайте задачу: «На изготовление 400 деталей первый рабочий затрачивает на 3 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?»

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи:

Решение:

Проанализируем каждое из данных уравнений:

Уравнение составлено в предположении, что x ч – время, которое первый рабочий затрачивает на изготовление 400 деталей. Тогда (x + 3) ч – время, которое второй рабочий затрачивает на изготовление 480 деталей. Уравнение связывает производительности труда рабочих. В правой части уравнения число 20 надо прибавить, т. к. первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Данное уравнение не соответствует условию задачи. При составлении уравнения буквой x (деталей в час) обозначена производительность труда второго рабочего, а уравнение связывает время работы первого и второго рабочих. 480/х ч – время, которое второй рабочий затарачивает на изготовление 480 деталей. По условию задачи производительность первого рабочего должна быть равна (x + 20) деталей в час, а не (x – 20). Данное уравнение не соответствует условию задачи. Уравнение выражает зависимость между временем работы первого рабочего и временем работы второго рабочего, а буквой x (деталей в час) обозначена  производительность труда первого рабочего, тогда по условию задачи производительность труда второго рабочего (x – 20) деталей в час, а не  (x + 20) деталей в час. Данное уравнение не соответствует условию задачи. Уравнение связывает производительности труда рабочих.

x ч – время, которое второй рабочий затрачивает на изготовление 480 деталей,

(x–3) ч – время, которое первый рабочий затрачивает на изготовление 400 деталей. По условию задачи, первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Разность производительностей первого и второго рабочих равна 20 деталям в час, что и отражено в уравнении. Данное уравнение соответствует условию задачи.

Примечание: корень уравнения не является ответом на вопрос задачи. Для нахождения производительности первого рабочего надо выполнить еще 2 действия: из найденного при решении корня уравнения вычесть 3 и разделить 400 на полученную разность. 

Ответ: 4.

Задание № 13.

Имеется 2 пакетика семян редиса весом по 10 г. Известно, что расход семян составляет 3,5 г на 1 м2. Какое количество целых прямоугольных грядок длиной
3 м и шириной 60 см можно засеять этими семенами?

Решение:

60 см = 0,6 м

10 ⋅ 2 = 20 (г) – масса семян редиса; 3 ⋅ 0,6 = 1,8 (м2) – площадь одной грядки; 1,8 ⋅ 3,5 = 6,3 (г) – масса семян для посадки на одну грядку; 20 : 6,3 = 3(шт.) – грядок можно засеять.

Данного количества семян хватит, чтобы засеять 3 целых прямоугольных грядки.

Ответ: 3.

Задание № 14.

Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Решение:

По условию AD = 6. Равные диагонали прямоугольника пересекаются в центре описанной окружности О  и при пересечении делятся пополам, т. е. OD = ОА. Значит, треугольник АOD равнобедренный. Кроме того, OD и ОА являются радиусами окружности. По условию, ∠ АOD = 600. Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 600, то такой треугольник является равносторонним. Следовательно, OD = ОА = AD = 6.

Ответ: 6.

Задание № 15.

Кристалл искусственного алмаза представляет собой октаэдр (см. рисунок). Его поверхность состоит из восьми равных  равносторонних  треугольников со стороной 1 мм. Вычислите площадь поверхности кристалла  в мм2. Ответ округлите до целого числа.

Решение:

Площадь поверхности кристалла S равна сумме площадей составляющих ее восьми равных равносторонних треугольников: S = 8⋅ SΔ.

Площадь одного из восьми равных треугольников можно вычислить по формуле площади треугольника: . Высоту треугольника h при а=1 можно найти по теореме Пифагора (см. рисунок): . Тогда .

А площадь поверхности кристалла S=8⋅=2(мм2).

≈ 1,73. Следовательно, S ≈ 2 ⋅ 1,73 = 3,46 (мм2). Округлив результат до целых по правилам округления, получим: 3,46 ≈ 3 (мм2).

Ответ: 3.

Примечание: для нахождения площади SΔ равностороннего треугольника со стороной a можно было сразу воспользоваться известной формулой: SΔ =.