Математическая игра «Домино». Ленинский район.
6 классы. Решения. 29 октября 2015.
Задачи, решения и результаты игры будут выложены на сайте
0–0. Напишите, используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4 ровно два раза, восьмизначное число, у которого между единицами стоит ровно 1 цифра, между двойками — ровно 2 цифры, между тройками — ровно 3 и между четверками — ровно 4 цифры. (23421314 или 41312432. Достаточно указать одно число.)
0–1. . У Маши есть 20 разноцветных шариков: желтых, зеленых, синих и черных. Из этих шариков 17 — не зеленые, 5 — черные, а 12 — не желтые. Сколько синих шариков у Маши? (4.Если 17 шариков не зелёные, то 20-17=3 шарика зелёные. Если 12 шариков не жёлтые, то 20-12=8 шариков жёлтые, по условию 5 шариков чёрные. Значит, синих шариков 20-3-8-5=4.)
0–2. Разрежьте торт на четыре части одинаковой формы так, чтобы в каждой части было по вишенке. Части считаются одинаковыми, если их можно совместить наложением. 
0–3. На какое наибольшее число натуральных слагаемых с различным количеством цифр можно разложить число 2015? Приведите ответ и пример. (4, например, 2015=1800+200+10+5.)
0–4. Напишите 5 последовательных натуральных чисел так, чтобы были выписаны 18 цифр. ( 998,999,1000,1001,1002. Поделим 18 на 5 с остатком: получится 3 и 3 в остатке. Первое число должно быть трёхзначным, и три последние - четырёхзначные.)
0–5. На соревнованиях по лыжному слалому спортсмены проходят серию поворотов на крутом спуске. За каждый правильно пройденный поворот спортсмену начисляется 7 очков, а за неправильно пройденный поворот – снимают 12 очков. После прохождения 30 поворотов, спортсмен заработал 77 очков. Сколько поворотов спортсмен прошел правильно? (23 поворота. 30*7=210 – столько очков получил бы спортсмен при правильном прохождении всех поворотов. 210-77=133 – столько очков спортсмен не получил из-за ошибок. За ошибку спортсмену не начислялось 7 баллов и отнималось 12 - итого 19 баллов. 133/19=7 ошибок допустил спортсмен. 30-7=23 поворотов пройдено верно.)
0–6. В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год? (В 6 раз. Сначала лип было в 1,5 раза меньше, чем клёнов, а летом стало в 4 раза больше. При этом количество клёнов не изменилось. Значит, лип стало в 1,5·4 = 6 раз больше. К концу года отношение числа лип к количеству всех деревьев стало таким же, как было в начале. Но осенью количество лип не менялось, значит, количество всех деревьев (по сравнению с исходным) увеличилось в шесть раз.)
1–1. В коробке шоколадные конфеты выложены в один слой в виде квадрата. Ваня съел все конфеты по периметру — всего 20 конфет. Сколько конфет осталось в коробке? (16 конфет.)
1–2. Деду 56 лет, а внуку 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше своего внука? (Через 28 лет. Составим уравнение 56+х=(14+х)∙2.)
1–3. Одуванчик утром распускается, два дня цветет желтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днем на поляне было 20 желтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня — 15 желтых и 11 белых. Сколько желтых одуванчиков было на поляне позавчера? (25 жёлтых одуванчиков. Все одуванчики, которые позавчера были желтыми, стали белыми вчера или сегодня. Поэтому их было 14 + 11 = 25.)
1–4. Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов? (45. Отложим пока мандарины в сторону. Осталось 20 + 30 + 40 = 90 фруктов. Поскольку обезьяне мы скармливаем не более одного мандарина, каждая обезьяна съест из этих 90 фруктов по крайней мере два. Значит, обезьян не более чем 90 : 2 = 45. Покажем, как можно осчастливить 45 обезьян: 5 обезьян съедают: грушу, банан, мандарин; 15 обезьян съедают: грушу, персик, мандарин; 25 обезьян съедают: персик, банан, мандарин. Всего 45 счастливых обезьян — и еще осталось пять неиспользованных мандаринов!)
1–5. Художник начал писать картину в последнюю пятницу февраля, а закончил в первую среду марта. Сколько дней работал художник? (6 или 13 дней. Художник начал писать картину в последнюю пятницу февраля, и среда на следующей неделе может быть еще февралем, а может быть уже мартом. В первом случае художник работал 13 дней, во втором 6 дней.)
1–6. Разрежьте нарисованный шестиугольник на четыре одинаковые фигуры. Резать можно только по линиям сетки. 
2–2. Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие — втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра. Сколько простых и сколько творческих людей отрастили волку хвост? (5 простых и 3 творческих. Каждый рассказчик удваивал или утраивал длину хвоста, поэтому 864 является произведением некоторого количества двоек и троек. Так как 864 = 32·27=
, то хвост волку "удлиняло" пять простых людей и трое творческих.)
2–3. Найдите общий периметр пяти квадратов, если длина отрезка АВ равна 10. (40. Одна из четырёх сторон каждого квадрата лежит на нашем отрезке. Получается, что периметр квадратов в четыре раза больше длины отрезка.)
2–4. Белка налегке бежит со скоростью 300 м/мин, а с орехом – 150 м/мин. Как далеко расположен орешник от гнезда, если белка за 30 минут успевает добежать до него и вернуться обратно с орехом? ( 3км. Т. к. белка с орехом бежит в два раза медленнее, то ей понадобится на тот же путь в два раза больше времени. Т. е из 30 минут одна часть времени уходит на путь до орешника и две части – на обратный путь. Значит, чтобы добежать до орешника, белке нужно 30:3=10 минут, за которые она успевает пробежать 10⋅300=3 000 (м)=3 (км).)
2–5. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в «нормальных» м/мин) бегает таракан Валентин? (18 м/мин. Валентин пробегает 50 • 60 = 3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин.)
2–6. Три пирата делили мешок монет. Первый забрал 3/7 всех монет, второй — 51% остатка, после чего третьему осталось на 8 монет меньше, чем получил второй. Сколько монет было в мешке? (700 монет. Так как второй пират забрал 51% монет, оставшихся после первого, то третьему пирату досталось 49% этого количества. Следовательно, 8 монет составляют 2% монет, оставшихся после первого пирата. Значит, на долю второго и третьего пришлось 8·50 = 400 монет, что составляет 4/7 от их общего количества. Таким образом, в мешке было 400 : 4/7 = 700 монет.)
3–3. Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут? (400 граммов. Пёс собирается откусить от батона на 300 г меньше, чем оставить. Если бы он откусил на 150 г больше, оставив на 150 г меньше, то ему досталась бы ровно половина всей колбасы. Аналогично, коту досталась бы половина всей колбасы, если бы он откусил на 250 г больше, чем собирался. При этом вся колбаса была бы съедена, поэтому остаток весит 150 + 250 = 400 г.)
3–4. Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины? (160 граммов. Пусть в килограмме говядины x кг костей, тогда '' чистой'' говядины в нём (1 - x) кг. Таким образом, 15x + 90(1 - x) = 78, откуда x = 0, 16.)
3–5. Укажите наименьшее чётное число, состоящее из 10 различных цифр.
(-9876543210.)
3–6. Два рыцаря (всегда говорят правду) и несколько лжецов (всегда лгут) встали в круг так, чтобы каждый из них мог произнести фразу «Оба моих соседа — лжецы». Сколько могло быть лжецов? Укажите все варианты. (2, 3,4. Два рыцаря сказали правду, значит у них оба соседа лжецы. Тогда лжецов может двое (по кругу стоят ЛРЛР), трое (ЛРЛЛР) или четверо (ЛЛРЛЛР). Заметим, что больше четырёх лжецов быть не может, иначе найдутся три лжеца, стоящие подряд. Тогда стоящий посередине лжец сказал правду, чего быть не может.)
4–4. Электронные часы показывают время от 00.00.00 до 23.59.59. Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно три цифры 7? (72 секунды. Три семёрки могут гореть только в комбинации x7.y7.z7. А таких комбинаций в течение суток 2⋅6⋅6=72.)
4–5. Просыпаясь каждое утро в 8.30, истопник набивает печку углём до упора. При этом он кладёт ровно 5 кг угля. Каждый вечер, ложась спать (а ложится спать он также в одно и то же время), он опять набивает печку углём до упора и кладёт при этом ровно 7 кг угля.
В какое время истопник ложится спать? (В 22.30. Так как утром в печку влезает 5 кг угля, а вечером – уже 7 кг, то за время бодрствования истопника сгорает 7 кг угля (5 кг тех, которые были положены утром, и ещё 2 кг, уже лежавшие в печке). Вечером в печку кладут 7 кг, следовательно, за время сна сгорает 5 кг из них (чтобы утром можно было положить ровно 5 кг угля). Таким образом, моменты засыпания и пробуждения истопника делят сутки на две части, длины которых относятся как 7 к 5, то есть на 14 и 10 часов (в сутках 24 часа). Таким образом, истопник бодрствует 14 часов.)
4–6. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7Ч7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку.
Побейте его рекорд — закрасьте 33 клетки. (См. рисунок, приведено 3 варианта, примеров гораздо больше.) 
5–5. Торт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки.
(22 см Ч 22 см Ч 11 см. При первом способе завязывания лента охватывает дважды длину, дважды ширину и четыре раза высоту коробки, т. е. её длина равна шести сторонам основания плюс бантик. При втором способе завязывания лента охватывает дважды длину, четырежды ширину и два раза высоту коробки, т. е. её длина равна семи сторонам основания плюс бантик. Теперь понятно, что разница в длинах лент 178 − 156 = 22 см в точности равна стороне основания коробки. Итак, размеры коробки 22 см Ч Ч 22 см Ч 11 см. Проверим: в первом случае на обхватывание коробки уходит 22 Ч 6 = 132 см, 24 см идёт на бантик. Во вто - ром — 22 Ч 7 = 154 см и те же 24 см на бантик.)
5–6. В равенстве ТИХО + ТИГР = СПИТ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы—разными цифрами так, чтобы ТИГР был бы как можно меньше (нулей среди цифр нет). (1386 + 1345 = 2731. Чтобы ТИГР был как можно меньше, нужно сначала сделать как можно меньше цифру Т, потом – цифру И, потом – цифру Г, а потом – Р. Попробуем взять Т = 1. Тогда С – это 2 или 3. Но если С = 3, то И не меньше, чем 5, а если С = 2, то можно взять И = 3. Возьмём Г = 4, Р = 5 (в этом случае ТИГР – минимальный) и попробуем подобрать оставшиеся цифры. Из равенства 13ХО + 1345 = 2П31 получим, что О = 6, Х = 8, П = 7.)
6–6. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные - больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
(2525. Вычтем 50 из каждого числа, которое больше 50. По условию ни одна из разностей не равна ни одному из 25 чисел, которые не превосходят 50. Поэтому вместе с ними разности дают 50 различных натуральных чисел, которые не превосходят 50, то есть это все числа от 1 до 50. Их сумма равна 51·25 , а сумма всех исходных чисел равна, стало быть, 51·25+50·25=101·25=2525.)
