МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ Государственное бюджетное учреждение «Центр развития одаренности» 350000 г. Краснодар, ул. Красная, 76 E-mail: cro. *****@***ru |
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 7 класс ответы, решения и критерии оценки заданий к работе № 3, 2016-2017 уч. год |
Критерии оценки заданий:
0 - баллов – задание выполнено, но неверно;
1 - балл –правильный ответ, отсутствует решение;
2-3 - балла - выполнено 50% задания и зависит от его сложности;
4 - балла – задание выполнено, но имеются недочеты
5 - баллов– баллов задание выполнено правильно
Максимальное количество - 25 баллов.
Задание 1.
Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?
Решение. Предположим, что x - количество игрушек по цене 3 рубля, y - по цене 5 рублей и z - по цене 7 рублей. Тогда составим систему уравнений:
3x + 5y+7z = 53,
x+y+ z = 10,
z = 10-x-y,
3x + 5y +7(10-x-y),
4x + 2y =17 (левая часть четная, правая нечетная, что невозможно),
Если нужны дальнейшие разъяснения, то:
2x + y = 8,5
Из последнего уравнения видно, что оно не имеет целочисленных решений, значит 10 игрушек не могут стоить 53 рубля, если их цена 3 или 5 или 7 рублей.
Задание 2.
На какие цифры надо заменить звездочки в записи девятизначного числа 
, чтобы оно делилось без остатка на 72? Покажите, что решение задачи единственно.
Решение. Чтобы число делилось на 72, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 8 и на 9. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы на 8 делилось число, составленное из трех последних его цифр в том же порядке. Для числа 17* это 176, то есть последняя цифра 6. Для делимости на 9 необходимо и достаточно, чтобы сума цифр числа делилась на 9. Вместо оставшейся звездочки может стоять только 2.
Ответ: 322357176.
Задание 3.
На соревнованиях по стрельбе Алеша 10 раз выстрелил по мишени и выбил 76 очков. Сколько было попаданий в “пятерку” и “семерку”, если “девяток” было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Решение. Обозначим число попаданий в «пятерку» через x, а в «семерку» - через y. Тогда задача сводится к решению уравнения в целых числах:
5х + 7у + 36 = 76, 5х + 7у = 40.
Нетрудно показать, что уравнение имеет в целых числах единственное решение:
х = 1, у = 5.
Задание 4.
Король обошел шахматную доску 
и вернулся на исходное поле, побывав на каждом поле только один раз. Какое наименьшее число прямых (не диагональных) ходов он мог сделать? Приведите пример обхода с указанным вами числом прямых ходов.
Решение. Если поле 4*4, следовательно, всего клеток 16. И чтобы сделать обход всех клеток, побывав на каждой лишь один раз, нужно сделать 16 ходов. Пример такого обхода с использованием лишь прямых ходов в прикрепленном файле. Точкой обозначено начальное положение короля, стрелками - векторы его движения.
Если считать минимальное количество прямых, вдоль которых двигался король во время обхода, то их получится 8.
Задание 5.
На сторонах AB, BC и AC равностороннего треугольника ABC взяты, соответственно, точки D, E, F, так что AD = BE = CF. Докажите, что треугольник DEF равносторонний.
Решение.
AB=BC=AC,
AD=BE=CF =>
AB-AD=BC-BE=AC-CF,
т. е. BD=CE=AF =>
ДADF = ДBED = Д CFE
(по двум сторонам и углу,
лежащему между ними), =>
DF=ED=FE,
т. е. Д DEF - равносторонний.
