Глава 1
Особенности построения начального курса математики.
Построение начального курса математикиИзучению математике уделяется большое внимание в наше время, т. к. развиваются все новые технологии, которые не могут существовать без знания данного предмета. Во многом усвоение математики зависит от того, как построен данный курс в начальной школе, так как именно там закладывается фундамент всех знаний и умений.
Здесь мы сравним, как построен курс математики начальной школы в учебниках Петерсон и Моро.
1 класс. В учебнике первого автора изучение математики начинается со свойств предметов. Рассматривается, что такое группа предметов и как можно сравнивать разные группы. Затем вводится операции сложения и вычитания. Понятия выше и ниже, что значит порядок, вводятся понятия один и много. Затем начинается счет, в течении изучения которого, вводятся понятия числового отрезка, больше – меньше, что такое точка и линия, вводятся компоненты сложения и вычитания, области и границы, отрезок и его части, ломанная линия, многоугольник, выражения, таблица сложения, части фигур, равные фигуры, задача, сравнение чисел, задачи на сравнение. Затем вводятся длина, масса, объем. Далее уравнения, единицы счета и счет десятками, круглые числа, дециметр, счет десятками и единицами, название чисел до двадцати, название двухзначных чисел, сравнение двузначных чисел, сложение и вычитание двузначных чисел, таблица сложения.
В отличие от первого учебника, который разделен на три части, второй издан в двух частях, также в нем есть четкое разделение на разделы: подготовка к изучению чисел, числа от 1 до 10, нумерация, сложение и вычитание, прибавление и вычитание числа 1, прибавление и вычитание числа 2, прибавление и вычитание числа 3,числа от 1до 20, нумерация, сложение и вычитание, табличное сложение, табличное вычитание.
2 класс. Первый автор разделили весь материал разделен на уроки. Сначала изучаются цепочки, затем идет геометрический материал (точка, прямая и кривая линия), затем сложение и вычитание двузначных чисел. После этого вводится понятие сотни трехзначного числа, и проводятся операции сложения и вычитания с ними. Далее сеть линий, путь пресечение геометрических фигур. Понятие операции и обратной операции. Геометрический материал (Прямая, луч, отрезок). Вводится понятие алгоритма и способы работы с ним. Геометрический материал (плоскость, угол, прямой угол, прямоугольник, квадрат, площадь фигуры, единицы площади, площадь многоугольника, окружность, объем фигуры ), свойства сложения. Также в этом классе вводится умножение и деление и понятия четного и нечетного чисел. Увеличение и уменьшение в несколько раз следует за введением этих операций. Понятие делителя и кратного. Единицы длины. Деление с остатком.
Структура учебника 2 класс у Моро, аналогична структуре учебника первого класса. В нем выделяются следующие разделы: нумерация, миллиметр, метр, рубль, копейка, сложение и вычитание, час, минута, длина ломанной, порядок выполнения действий, скобки, числовые выражения, периметр многоугольника, свойства сложения, устные вычисления, буквенные выражения, уравнение, проверка сложение, проверка вычитания, сложение и вычитание (письменные вычисления), угол, виды углов, прямоугольник, квадрат, умножение и деление.
3 класс. Петерсон вначале 3 класса вводит понятие множества и его элементов, а также операции и действия, которые можно с ними выполнять. Затем вводится понятие многозначного числа. Умножение и деление на круглые десятки, и деление круглых чисел. Единицы массы и длины. Умножение и деление на однозначное число. Преобразование фигур, понятие симметрии, и мера времени, понятие переменная и выражения с переменной. Равенства и неравенства, уравнения, формулы. Умножение на двузначного числа. Способы решения основных задач.
В отличие от первого автора Моро начинает 3 класс с сложения и вычитания, затем идут решение уравнений, обозначение геометрических фигур буквами, умножение и деление, порядок выполнения действий, табличное умножение и деление, площадь и единицы площади, понятие доли, окружность, круг, единицы времени. Числа от 1 до 100, числа от 1 до 1000, нумерация, единицы массы.
4 класс. Первый автор начинает 4 класс с решения неравенств и понятий, связанных с ними, далее идет оценка разности, суммы, произведения, частного, деление на двузначное число, далее вводится понятие доли и дроби, и действия которые с ними проводятся, далее вводится понятие смешанного числа и операции, которые с ними выполняются. Далее идет понятие шкалы и числового луча и работа с ними. После этого рассматриваются движения и решаются задачи на движение. После этого рассматриваются различные виды углов и их измерения. Координаты и координатные оси.
У Моро 4 класс начинается с темы «Числа от 1 до 10», в которой рассматривает нумерацию, четыре арифметических действия и диагонали прямоугольника (квадрата). Затем «Числа, которые больше 1000», в нее входит нумерация, числовой луч, углы и их виды, величины, сложение, вычитание и умножение, деление, также понятия скорости, времени и расстояния, умножение на числа, оканчивающиеся нулями, умножение и деление на двузначное и трехзначное число.
Рассмотренные учебники хотя и имеют различную структуру, но по содержанию материала практически не различаются и информация подается по одному принципу. Единственным существенным отличием является отсутствие в учебниках автора Моро раздела о множествах.
Итак, в настоящее время существует множество учебников по математике различных авторов, но как мы убедились на разобранных примеров, построение материала не отличается существенно и каждый учитель сам для себя должен решить, какого автора предпочесть.
Содержание геометрического материала и последовательность его изучения.Развитие пространственного воображения – это одна из основных задач знакомства с геометрией в курсе математики начальной школы, а также ребенок в ходе изучения геометрического материала должен научиться сравнивать и обобщать. Наблюдение также развивается активно при изучении данного вида информации. умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать и абстрагировать. Второй по важности задачей является формирование у ребенка практических умений измерения, построения геометрических фигур.
Все понятия, которые изучаются в начальной школе по математике можно разделить на четыре группы:
- понятия, связанные с числами и операции над ними (число, сложение, слагаемое и др.);
- алгебраические понятия (выражение, равенство, уравнение и др.);
- геометрические понятия (прямая, отрезок, треугольник и т. д.); четвертую группу
- понятия, связанные с величинами и их измерением.
Для того чтобы составить понятие об объекте необходимо абстрагироваться от таких свойств как цвет, масса, твердость и т. д., при этом необходимо их отличать друг от друга по каким-то параметрам.
Т. к. сейчас идет тенденция к увеличению геометрического материала в школьном курсе, его количество увеличивается и в курсе математики начальной школы.
Согласно обязательному минимуму содержания образования по математике начальный курс математики содержит следующий перечень понятий геометрического характера: установление пространственных отношений: выше-ниже, слева-справа, сверху-снизу, ближе-дальше, спереди-сзади, перед, после, между и др. Распознавание и изображение геометрических фигур: точка, прямая, отрезок, угол, многоугольники: треугольник, прямоугольник. Распознавание: окружность и круг; куб и шар. Измерение длины отрезка и построение отрезка заданной длины. Вычисление периметра многоугольника. Площадь геометрической фигуры. Единицы площади (см2, м2 ). Вычисление площади прямоугольника.
Первое с чем знакомятся дети из геометрического материала – это точка и линия, где детей знакомят с точкой и ее обозначением большой буквой. Рассматривают, что такое линия в целом и как вид замкнутую линию. Затем следует введение понятия отрезок, как линия, на концах которой точки. После этого вводится понятие ломаной и многоугольника. Следующие с чем знакомят детей – это части фигур, т. е. на какие части можно разделить фигуру и какие фигуры можно составить из этих частей. Потом вводится понятие равных фигур. На этом оканчивается курс геометрии в первом классе.
В следующих классах начального звена повторяются знания о точках и линиях и добавляется понятие прямой и кривой линии, объясняется в чем различие между ними. Затем разделяются понятия прямая (пряма линия, не имеющая начала и конца), луч (прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца), отрезок (линия, у которой есть и наачло и конец). Затем вводятся более сложные понятия, такие как плоскость, угол ( в частности прямой угол). Так как у учащихся уже достаточно большой объем знаний вводится понятие прямоугольника и квадрата. Затем вводится площадь фигуры и параллельно единицы площади. Далее вводится понятие окружность и объем фигуры. Рассматриваются преобразования фигур и что такое симметрия. Далее говорится о том, что есть несколько видов углов и учащихся учат их измерять. Далее вводится понятие координат и координатных осей. На этом оканчивается курс геометрического материала в начальной школе.
Итак, хотя объем изучаемого геометрического материала в начальной школе небольшой, он очень важен для последующего усвоения геометрических понятий, т. к. это основа. В связи с этим очень важно грамотно расположить весь материал в курсе математики начальной школы.
1. 3 Цели изучения геометрического материала
Основной задачей изучения геометрического материала в 1 – 4 классах является формирование у учащихся четких понятий и представлений о таких фигурах, как точка, прямая линия, отрезок прямой, ломаная линия, угол многоугольник круг.1
Одна из главных целей изучения геометрического материала младшими школьниками также является развитее пространственного мышления. Учащиеся должны уметь создавать и оперировать пространственными образами, в которых должны выделять форму, положение в пространстве и расположение друг относительно друга. Не менее важным является ознакомление ребенка с геометрическими методами, которые являются неотъемлемой составляющей математических методов. Также в ходе изучения геометрического материала у детей развивается словесно-логическое мышление. Они учатся анализировать и обобщать полученную информацию. Так как при изучении геометрических понятий часто приходится абстрагировать, то данное умение также развивается в ходе обучения. Для того чтобы полноценно работать с геометрическими предметами, у учащихся должно быть хорошо развито пространственное воображение. В ходе изучения геометрического материала в курсе начальной школы происходит накопление запаса представлений о геометрических фигурах. В целом происходит подготовка школьников к усвоению всего курса геометрии.
Глава 2
Методика изучения геометрического материала в начальной школе
2.1 Методика изучения основных понятий: точка, прямая линия, кривая линия.
Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую, ломанную, отрезок, угол, многоугольник квадрат, прямоугольник и. т.д.2
Одно из первых понятий, с которым знакомится учащийся, является точка. Для того, чтобы познакомить детей с этим понятием учитель может попросить их поставить в разных частях клетки поставить точки, при этом учащийся учится ориентироваться в клетке, что в будущем поможет при написании цифр. Позже, а именно в 3 классе, учащиеся узнают, что точки обозначаются большими буквами. Далее любую фигуру можно представить как множество точек. Опираясь на свой опыт, ребенок сам может справится с задачей проведения различных линий через точку.
Для того чтобы ребенка познакомить с понятием прямая линия, учитель должен подготовить ряд заданий, в которых прямую линию дети будут сопоставлять с кривой линией. Также в ходе этих упражнений дети познакомятся со свойствами прямой и кривой. В конце они должны обобщить знания, которые получили и сделать выводы, что :
через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий через две точки можно провести только одну прямую, а кривых сколько угодно3Также дети знакомятся с замкнутой и не замкнутой кривыми линиями. Этот материал легко усваивается, если показать им это на примере, который они встречали в жизни.
2.2 Методика формирования понятий отрезок, ломанная, длинна ломанной
При знакомстве с отрезком следует выделить такие его признаки, ориентируясь на которые школьники могли бы легко узнавать эту геометрическую фигуру. Для этого, прежде всего, нужно обратить внимание на то, что отрезок имеет начало и конец и что его следует проводить по линейке. Если учеников познакомить с отрезком после введения понятия «длина», то, помимо названных признаков данного понятия, стоит отметить, что у любого отрезка можно измерить его длину. Дети могут самостоятельно прийти к выводу, что прямые линии, которые ими выделены на различных фигурах, по сути дела являются отрезками, так как в них фиксируется начала и конец. Ориентируясь на рассмотренные признаки отрезков, учащиеся находят их на различных геометрических фигурах: плоскостных и объемных.4
До измерения отрезков вводится понятие о равных и неравных отрезках. Разъясняется способ установления этих отношений (наложением). Когда учащиеся познакомятся с обозначением отрезков буквами, даются письменные упражнения, которые закрепляют умения выделять отрезки, являющиеся частями других отрезков, а также отрезки, составленные из других отрезков.5
Опираясь на понятие отрезка, учащихся знакомят с ломаной линией. Для этого по образцу, данному учителем, предлагают учащимся построить линию из палочек или бумажных полосок. Учитель дает название новой линии. Можно изготовить также модель ломаной линии, «сломав» на глазах у детей на части тонкую лучинку или кусок проволоки. Так же с опорой на практические работы вводят понятия незамкнутой и замкнутой ломаной линии. Учащиеся строят из палочек ломаную линию, находят ее начало (начало первого отрезка) и конец (конец последнего отрезка). Учитель дает название такой ломаной – незамкнутая, а затем предлагает по образцу соединить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся сами догадываются, что такая ломаная линии называется замкнутой. При этом звенья соединяют так, чтобы они, кроме вершин, не имели общих точек
Затем учащихся знакомят с измерением ломаных линий таким способом: измерить звенья ломаной и сложить полученные числа. Чтобы дети усвоили понятие длины ломаной линии, необходимо включить достаточное количество упражнений в нахождении длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, которые содержат различное число звеньев.
2.3 Методика знакомства с прямым углом
Знакомство с углами удобно провести на шарнирной модели. Можно сначала дать образ прямого угла. Путем двойного перегибания листа бумаги ученики получают модель прямого угла, пользуясь которой выполняют различные упражнения: накладывают эту модель на углы, тетради, книги и убеждаются, что эти углы прямые; строят прямые углы на клетчатой и нелинованной бумаге.
Ученики находят прямые углы на различных предметах. Необходимо строить прямые углы в различном положении на плоскости. Для этого раздаются листочки с начерченными на них лучами и предлагается провести новые лучи так, чтобы образовались прямые углы. Учащиеся строят их при помощи модели прямого угла и при помощи чертежного треугольника. Раздвигая или сдвигая стороны прямого угла, переходят к тупому и острому углу; ученики отыскивают на окружающих предметах эти углы. Вводятся понятия о сторонах угла, об его вершине. Следует ввести в начальной школе и общепринятую запись углов, пользуясь буквами.
Следует указать, что величина угла зависит от поворота одной стороны относительно другой.
Это же свойство можно показать и путем накладывания друг на друга моделей углов, изготовленных из разноцветной бумаги, так, чтобы видно было, что прямой угол больше острого, а тупой больше прямого. Наложением различных моделей прямых углов друг на друга дети убеждаются в равенстве всех прямых углов между собой.
Возможны задания по взаимному расположению точки и угла: построить точку внутри угла, на сторонах угла, вне угла.
Сгибая листок бумаги так, чтобы угол разделился пополам, можно найти линию, которая делит угол пополам.
Пересчитывая количество углов (вершин) у плоских фигур, ученики называют эти фигуры: треугольники, четырехугольники, пятиугольники — и называют виды углов при вершинах.
Вращая полоску картона или кусок проволоки, ученики получают образ неравных и равных смежных углов.
2.4 Методика формирования понятий многоугольник, прямоугольник, квадрат знакомство с их свойствами
Имея представления о точке, отрезке и угле, школьники могут находить эти геометрические фигуры в треугольниках, четырехугольниках, прямоугольников и квадратах, выделяя в качестве их элементов вершины (точки), стороны (отрезки) и углы. Ориентируясь на эти элементы, дети могут распознавать треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д., называя все эти фигуры многоугольниками. Для упражнений в распознавании многоугольников можно применять не только плоские фигуры, но и объемные тела – призмы, пирамиды. Оперируя с объемными телами, третьеклассники легко усваивают такие термины, как грань (многоугольник), ребро (отрезок), вершина (точка).
Определенную трудность для младших школьников представляет осознание того, что ююбой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные признаки фигуры они еще не овладели. Поэтому очень важно продумать последовательность вопросов, организующих деятельность детей, направленную на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата. Для этой цели учитель может поместить на фланелеграфе различные фигуры. Сначала надо выяснить как их можно назвать (многоугольники). Затем предложить учащимся показать и назвать многоугольники, у которых три угла и три стороны; четыре угла и четыре стороны и т. д. после этого предложить им оставить на фланелеграфе только четырехугольники. Затем из них выделить те, у которых один, два, три, четыре прямых угла (после нескольких попыток некоторые ученики догадаются, что четырехугольников с тремя прямыми углами вообще быть не может). Дети выполняют задание учителя, сначала прикидывая «на глаз», какие углы могут быть прямыми, затем проверяют свои предположение с помощью модели прямого угла.
В результате выделяются четырехугольники, в которых все углы прямые. Они имеют название – прямоугольники. Среди прямоугольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадраты. Отношения между понятиями многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат представлены схематически: 6
2.5 Методика знакомства с окружностью и кругом
При знакомстве учащихся с окружностью и кругом, их учат чертить окружность с помощью циркуля и знакомят с элементами окружности и круга – центром и радиусом. Все эти сведения усваиваются детьми в процессе практических упражнений.
Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга – замкнутая кривая линия – окружность.
Чтобы учащиеся не смешивали круг и окружность, дают специальные упражнения, например: проведите окружность и раскрасьте круг, отметить центр круга или окружности, а также точки, лежащие внутри круга, вне круга, на окружности.7
2.6 Виды упражнений для формирования умений и навыков при изучении геометрического материала.
Все упражнения, которые можно использовать на уроках изучения геометрического материала можно разделить на 5 групп, в зависимости от того на развитие чего они направлены:
- Упражнения на развитие умения сравнивать, выделять свойства Упражнения на развитие умения обобщать и классифицировать Упражнения на развитие умения анализировать и синтезировать Упражнения на определение закономерностей. Упражнения на развитие пространственного мышления
Рассмотрим каждый вид более подробно.
Особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике играет прием сравнения. Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы:
- выделение признаков или свойств одного объекта; установление сходства и различия между признаками двух объектов; выявление сходства между признаками трех, четыре и более объектов.8
Развивать прием сравнения необходимо начинать с первых уроков математики, поэтому для этого можно использовать предметы, которые им хорошо знакомы.
Примером задания на сравнения может служить следующее:
Сравни группы предметов:а)
В этом задании дети должны дать ответ о том, что кругов больше, чем квадратов и что фиолетовых фигур меньше, чем зеленых
б)
Здесь дети, должны увидеть, что маленьких треугольников, столько же, сколько и больших треугольников. Также что красных меньше, чем черных.
Эти упражнения направлены на то, что дети должны уметь оперировать и понимать такие математические понятия, как:
- больше меньше столько же
В первой паре ответом будет: они круглые, отличаются размером, цветом, так же дети могут ответить, что яблоко съедобное, а мяч нет.
Во второй паре: они ровные, линейка плоская, карандаш объемный.
В третьей паре: форма, размер, съедобное, не съедобное.
Большинство детей дадут, вероятнее всего неправильный ответ, так как решат, что если фигуры занимают больше места, значит их больше. Далее учитель вместе с учащимися считает фигуры на левой и правой картинке, и дает правильный ответ. Дети делают вывод, что не всегда большее количество фигур занимает больше места.
Упражнения на развитие умения обобщать и классифицироватьУмение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие – основа приема классификации.
Для классов должны выполняться условия:
- ни одно из подмножеств не пусто подмножества попарно не пересекаются объединение всех подмножеств составляет данное множество
Задания на классификацию можно применять не только для продуктивного закрепления знаний, но и при знакомстве с новыми понятиями.
Основная характеристика приема обобщения – это выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений.
Чаще всего данный прием используется детьми при практической деятельности, обобщение, в этом случае, является следствием умозаключений.
Задания могут быть такого типа:
- Какие геометрические фигуры ты видишь на рисунке и сколько их?
Ответ: 11 отрезков, 4 треугольника, 3 четырехугольника.
- По какому признаку фигуры можно разделить на классы?
Сколько фигур в этих классах?
По форме: треугольники (4), прямоугольники (3), круг (5).
По цвету: зеленые (5), черные (2), синие (3), фиолетовые (2).
- Найди среди четырехугольников квадрат:
Ответ: зеленая фигура и синяя.
Упражнения на развитие умения анализировать и синтезироватьВажнейшими операциями является анализ и синтез. Анализ – это выделение отдельных элементов предмета и разбиение его на части. Синтез – обратная операция, соединение элементов в одно целое. Эти две операции дополняют друг друга. Благодаря анализу и синтезу дети не только выделяют и соединяют элементы того или иного предмета, но и нахождение новых функций предметов.
Задание:
Найди отрезок ВС. Что ты можешь сказать о нем?
Ответ: ВС – сторона треугольника ВСЕ; ВС – сторона треугольника ДВС; ВС меньше, чем ДС; ВС меньше, чем АВ; ВС сторона угла ВСД и ВСЕ.9
Упражнения на определение закономерностейЕсли ученик умеет анализировать, сравнивать и обобщать, при этом имеет некоторый запас терминов, он сможет выполнять задания на выявление закономерностей. При этом учащийся должен иметь стимул виде возможности делать открытие выполнять творческие задания. Главная задача обучения – это учить детей рассуждать, мыслить и выделять закономерности.
Задание:
Существует ли закономерность в расположении фигур, если да то какая:
Упражнения на развитие пространственного мышления Нарисуй 2 замкнутых и 1 незамкнутую линию Сколько ты видишь замкнутых линий?
Раскрась фигуру так, чтобы соседние области отличались цветом.
1 , «Методика обучения математике в начальных классах. Курс лекций»// Ростов – на – Дону : «Феникс»//2009
2 «Методика обучения математике в начальных классах»//М. Академия/2001
3 , «Методика обучения математике в начальных классах. Курс лекций»// Ростов – на – Дону : «Феникс»//2009
4 «Методика обучения математике в начальных классах»//М. Академия/2001
5 , «Методика обучения математике в начальных классах. Курс лекций»// Ростов – на – Дону : «Феникс»//2009
6 «Методика обучения математике в начальных классах»//М. Академия/2001
7 , «Методика обучения математике в начальных классах. Курс лекций»// Ростов – на – Дону : «Феникс»//2009
8 «Методика обучения математике в начальных классах»//М. Академия/2001
9 «Методика обучения математике в начальных классах»//М. Академия/2001
