Вопросы к экзамену «Математика»

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ «МАТЕМАТИКА»

                                       III семестр

Числовой ряд и его сумма. Действие над рядами. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости числовых рядов: критерий Коши, признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Знакочередующие ряды, признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Числовые ряды с комплексными членами. Функциональные ряды, область сходимости и сумма ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейрштрасса равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: непрерывность суммы, почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Степенные ряды, теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряды Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение основных функций в ряд Тейлора. Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях. Приложение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений. Периодические функции. Гармоники. Тригонометрические многочлены. Ортогональные системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Условие Дирихле. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье. Ряд Фурье для функций на отрезке длиной 2р; на [0, р], для функций с произвольным периодом; на произвольном отрезке. Комплексная форма ряда Фурье. Спектры. Последовательность комплексных чисел. Кривые и области на комплексной плоскости. Понятие функций комплексной переменной и их геометрическая интерпретация. Предел и непрерывность функций комплексной переменной. Отображение областей. Производная функция комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Гармонические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства. Интегральная теорема Коши.  Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Ряды в комплексной области. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Степенные ряды в комплексной области. Ряд Тейлора и его коэффициенты. Основные разложения. Ряд Лорана и его область сходимости. Нули аналитических функций и их классификация. Устранимые особые точки. Полюсы, их связи с нулями. Существенно особые точки. Вычеты аналитических функций, их вычисление. Основная теорема о вычетах. Вычеты в бесконечно удаленной точке. Полная сумма вычетов. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Лемма Жордана.