|
Шестая математическая олимпиада Orange.
Финал. 5-7 классы.
ъ. ж | лйъд | имфеп | щн фший | щн ощфзд | |
бд"с | тйш | гйшд | бйъ | шзеб | |
В этом туре вы должны (на отдельных листах) представить как ответы, так и подробные решения задач.
+ | д | р | б | м |
д | р | б | м | |
п | й | й | р | б |
1. Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство. Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным – разные, при этом "р" и "п" это одна и та же буква.
2. Закрасьте наименьшее число клеток доски 5Ч5 в черный цвет так, чтобы любой прямоугольник, состоящий из четырех клеток этой доски, содержал бы черную клетку. (Квадрат тоже считается прямоугольником.)
3. (а) Два пирата Джон и Джим играют в такую игру. Перед ними лежит кучка из семи одинаковых золотых монет. Сначала Джон делит ее на две неравные части. Затем Джим делит одну из получившихся кучек на две неравные части. Затем так же поступает Джон, потом снова Джим и т. д. по очереди. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает, и противник забирает все золото. Сможет ли хитрый Джон забрать золото, или не менее хитрый Джим сможет ему помешать?
(б) Изменится ли ответ, если монет не семь, а восемь?
|
4. На столе стояли три стакана: первый с виноградным, второй с апельсиновым, третий с морковным соком. Во всех стаканах было одинаковое количество сока. Из первого стакана перелили ложку сока во второй стакан и тщательно перемешали, затем ложку этой смеси перелили в третий стакан и тщательно перемешали, а потом из третьего стакана перелили ложку в первый. Расположите следующие количества в порядке возрастания:
(а) количество виноградного сока во втором стакане,
(б) количество апельсинового сока в третьем стакане,
(в) количество морковного сока в первом стакане.
Ответ обьясните.
5. Разрежьте данную фигуру на шесть одинаковых (по форме и размеру) частей.
слен | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ъецаеъ |
Решения задач появятся на сайте /t
|
Шестая математическая олимпиада Orange.
ъ. ж | лйъд | имфеп | щн фший | щн ощфзд | |
бд"с | тйш | гйшд | бйъ | шзеб | |
Финал. 8-9 классы.
В этом туре вы должны (на отдельных листах) представить как ответы, так и подробные решения задач.
1. Закрасьте наименьшее число клеток доски 5Ч5 в черный цвет так, чтобы любой прямоугольник, состоящий из четырех клеток этой доски, содержал бы черную клетку. (Квадрат тоже считается прямоугольником.)
Докажите, что указанное вами число нельзя уменьшить.
2. На столе стояли три стакана: первый с виноградным, второй с апельсиновым, третий с морковным соком. Во всех стаканах было одинаковое количество сока. Из первого стакана перелили ложку сока во второй стакан и тщательно перемешали, затем ложку этой смеси перелили в третий стакан и тщательно перемешали, а потом из третьего стакана перелили ложку в первый. Расположите следующие количества в порядке возрастания:
(а) количество виноградного сока во втором стакане,
(б) количество виноградного сока в третьем стакане,
(в) количество апельсинового сока в первом стакане,
(г) количество апельсинового сока в третьем стакане,
(д) количество морковного сока во втором стакане,
(е) количество морковного сока в первом стакане.
3. Дан правильный десятиугольник площадью
10 м2 (см. рис.; многоугольник называется правильным, если у него все углы равны и все стороны равны). Найдите площадь закрашенного прямоугольника на рисунке.
4. Два пирата Джон и Джим играют в такую игру. Перед ними лежит кучка из восьми одинаковых золотых монет. Сначала Джон делит ее на две неравные части. Затем Джим делит одну из получившихся кучек на две неравные части. Затем так же поступает Джон, и т. д. по очереди. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает, и противник забирает все золото. Сможет ли хитрый Джон забрать золото, или не менее хитрый Джим сможет ему помешать?
5. Яэль родилась в марте, после 1990-го, но до 1996 года. У Яэль есть часы, которые опаздывают на 20 секунд в час, и она никогда не переводит стрелки своих часов. Утром того дня, когда ей исполнилось 12 лет, Яэль заметила, что ее часы показывают точное время, и вспомнила, что это происходит уже во второй раз в этом году. Сколько ей лет сегодня?
слен | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ъецаеъ |
Решения задач появятся на сайте /t
|
Шестая математическая олимпиада Orange.
Финал. 10-12 классы.
ъ. ж | лйъд | имфеп | щн фший | щн ощфзд | |
бд"с | тйш | гйшд | бйъ | шзеб | |
В этом туре вы должны (на отдельных листах) представить как ответы, так и подробные решения задач.
1. Найдите все тройки натуральных чисел k, m, n, для которых
2m + 2n = k2 .
2. Натуральные числа выкрашены в два цвета – красный и синий, причем так, что произведение чисел разных цветов всегда красного цвета, а их сумма – всегда синего. Какого цвета будет произведение двух красных чисел?
3. Вычислите первые сто цифр десятичного разложения числа
.
4. Два пирата Джон и Джим играют в такую игру. Перед ними лежит кучка из N одинаковых золотых монет. Сначала Джон делит ее на две неравные части. Затем Джим делит одну из получившихся кучек на две неравные части. Затем так же поступает Джон, и т. д. по очереди. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает, и противник забирает все золото. У кого из пиратов есть выигрышная стратегия
(а) для N = 11 ?
(б) для N = 13 ?
|
5. Точка P находится внутри треугольника ABC, прямая AP пересекает сторону BC в точке M, a прямая BP пересекает сторону AC в точке N. Середины отрезков AC, MN, PM лежат на одной прямой, середины отрезков BC, MN, PN также лежат на одной прямой. Отрезок MN разрезает треугольник ABC на две части – треугольник CMN и четырехугольник ABMN. Которая из этих двух частей имеет большую площадь?
слен | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ъецаеъ |
Решения задач появятся на сайте /t
