Составить экономико-математическую модель

Задача 1

Составить экономико-математическую модель.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя радио - и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены суммой 1000 д. е. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 д. е., а каждая минута телерекламы – в 100 д. е. в месяц. Фирма хотела бы использовать радиосеть по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио и телерекламой. Определите прибыль фирмы от рекламы, если за 1 минуту радиорекламы прибыль составляет 10 д. е., а за 1 минуту телерекламы – 250 д. е.

Решение:

Обозначим через х1, х2 число минут времени, затраченных на радиорекламу и телерекламу продукции соответственно. Тогда затраты на рекламу составят 5х1 + 100х2. Эти затраты по условию задачи ограничены суммой 1000 д. е. в месяц. Так как фирма хотела бы использовать радиосеть по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения, должно выполняться условие х1 ≥ 2х2 или х1 – 2х2 ≥ 0. Кроме того х1 и х2 должны быть неотрицательными.  В итоге получаем систему ограничений:

5х1 + 100х2 ≤ 1000

х1 – 2х2 ≥ 0                                                (1)

  х1 ≥ 0; х2 ≥ 0                                                        

Прибыль фирмы от рекламы составит

F = 10x1 + 250x2                                                (2)

Экономико-математическая модель: найти такой план распределения времени между радио - и телерекламой (х1 и х2), удовлетворяющий системе ограничений (1), при котором целевая функция (2) принимает максимальное значение.

Задача 2

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

       

       

Решение:

Строим граничные прямые на плоскости

Область допустимых значений EFАВСD – неограниченна. Проводим прямую  целевой  функции L=4, т. е.  2х1 + х2 + 4 = 0,  проходящую через точку (0, 0) и перпендикулярную вектору = (2, 1) . Перемещая прямую L=4 в направлении вектора находим точку входа в область EFАВСD (точка А).

Точка A находится на пересечении прямых L1 и L3. Совместным решением данных уравнений определяем координаты точки

               x1 = 2;  x2 = 2

Точка входа определяет точку, в которой целевая функция принимает минимальное значение

Lmin = L(А) = L(2, 2) = 2⋅2 + 2 + 4 = 10.

Так как область EFАВСD – неограниченна, следовательно, максимального значения целевой функции нет.

Задача 3

Для исходной задачи составить двойственную. Решить обе задачи симплексным методом или двойственным симплексным методом и по решению каждой из них найти решение другой. Одну из задач решить графическим методом.

Решение:

Двойственная задача к исходной

L = 6y1 + 6y2 + 3y3 → min

y1 + 2y2 – y3 ≥ 2

2y1 – 3y2 + 3y3 ≥ 1

yj ≥ 0,  j = 1…3

Приводим систему ограничений исходной задачи к каноническому виду

x1 + 2x2 + x3 = 6

2x1 – 3x2 + x4 = 6

–x1 + 3x2 + x5 = 3

xj ≥ 0, j = 1…5

Составляем исходную симплекс-таблицу

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	Св. член
х3	1	2	1	0	0	6
х4	2	-3	0	1	0	6
х5	-1	3	0	0	1	3
L	-2	-1	0	0	0	0

Наличие в L-строке отрицательных значений свидетельствует об неоптимальности исходного решения, а отсутствие в столбце свободных членов отрицательных чисел о его допустимости. Улучшаем решение. Разрешающий столбец х1. Разрешающая строка х4.

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	Св. член
х3	0	7/2	1	-1/2	0	3
х1	1	-3/2	0	1/2	0	3
х5	0	3/2	0	1/2	1	6
L	0	-4	0	1	0	6

Наличие в L-строке отрицательных значений свидетельствует об неоптимальности исходного решения. Улучшаем решение. Разрешающий столбец х2. Разрешающая строка х3.

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	Св. член
х2	0	1	2/7	-1/7	0	6/7
х1	1	0	3/7	2/7	0	30/7
х5	0	0	-3/7	5/7	1	33/7
L	0	0	8/7	3/7	0	66/7

Отсутствие отрицательных коэффициентов в L-строке свидетельствует об  оптимальности полученного решения:

Lmax = 66/7;         max = (30/7; 6/7; 0; 0; 33/7).

Определяем решение двойственной задачи по решению исходной.

На основании 1-ой теоремы двойственности:

Lmin = Lmax = 66/7.

Между переменными прямой и двойственной задачи устанавливаем взаимосвязь

На основании второй теоремы двойственности находим оптимальный план как абсолютные величины коэффициентов при соответствующих переменных в L-строке последней симплекс-таблицы с учетом записанного соответствия

min = (8/7; 3/7; 0; 0; 0).

Решение двойственной задачи. Приводим систему к каноническому виду

L = 6y1 + 6y2 + 3y3 → min

–y1 – 2y2 + y3 + y4 = –2

–2y1 + 3y2 – 3y3 + y5 = –1

yj ≥ 0,  j = 1…3

Решаем задачу симплексным методом

Базис	y1	y2	y3	y4	y5	Св. член
y4	-1	-2	1	1	0	-2
y5	-2	3	-3	0	1	-1
L	-6	-6	-3	0	0	0

Отсутствие в L-строке положительных значений свидетельствует об оптимальности исходного решения, а наличие в столбце свободных членов отрицательных чисел о его недопустимости. Согласно алгоритму двойственного симплекс-метода выбираем разрешающую строку по наибольшему по абсолютной величине отрицательному элементу столбца свободных элементов. Разрешающая строка y4. Разрешающий столбец выбираем по наименьшему по абсолютной величине отношению элементов L строки к отрицательным  элементам  разрешающей строки. Разрешающий элемент находится в столбце y2. После пересчета получаем следующую таблицу

Базис	y1	y2	y3	y4	y5	Св. член
y2	1/2	1	-1/2	-1/2	0	1
y5	-7/2	0	-3/2	3/2	1	-4
L	-3	0	-6	-3	0	6

Наличие в столбце свободных членов отрицательных чисел говорит о  недопустимости найденного решения. Пересчитываем таблицу. Разрешающая строка y4. Разрешающий элемент находится в столбце y1. После пересчета получаем следующую таблицу

Базис	y1	y2	y3	y4	y5	Св. член
y2	0	1	-5/7	-2/7	1/7	3/7
y1	1	0	3/7	-3/7	-2/7	8/7
L	0	0	-33/7	-30/7	-6/7	66/7

Так как в L-строке все коэффициенты отрицательные, найденное решение оптимальное при поиске минимума

Lmin = 66/7;         min = (8/7; 3/7; 0; 0; 0).

Определяем решение исходной задачи по решению двойственной.

На основании 1-ой теоремы двойственности:

Lmax = Lmin =66/7.

Между переменными прямой и двойственной задачи устанавливаем взаимосвязь

На основании второй теоремы двойственности находим оптимальный план как абсолютные величины коэффициентов при соответствующих переменных в L-строке последней симплекс-таблицы с учетом записанного соответствия

max = (30/7; 6/7; 0; 0; 33/7).

Решаем исходную задачу графическим методом

Строим граничные прямые на плоскости

       x1 + 2x2 = 6                (L1)

2x1 – 3x2 = 6        (L2)

–x1 + 3x2 = 3        (L3)

Область допустимых значений – многоугольник  АВСDЕA. Проводим прямую  целевой  функции L=0, т. е.  2x1 + x2 = 0,  проходящую через точку (0, 0) и перпендикулярную вектору = (2, 1) . Перемещая прямую L=0 в направлении вектора находим точку выхода из области АВСDEA (точка D).

Точка выхода определяет точку, в которой целевая функция принимает максимальное значение. Точка D находится на пересечении прямых L1 и L2. Совместным решением данных уравнений определяем координаты точки

       x1 + 2x2 = 6                (L1)

2x1 – 3x2 = 6        (L2)

       x1 = 30/7;  x2 = 6/7

       Максимальное значение целевой функции

Lmax = L(D) = L(30/7; 6/7) = 2⋅30/7 + 6/7 = 66/7.