Линейные уравнения

Линейные уравнения ах = b, где а ≠ 0; x=b/a.

Пример 1. Решите уравнение – х + 5,18 = 11,58.
Решение:
– х + 5,18 = 11,58;
– х = – 5,18 + 11,58;
– х = 6,4;
х = – 6,4.
Ответ: – 6,4.

Пример 2. Решите уравнение 3 – 5(х + 1) = 6 – 4х.
Решение:
3 – 5(х + 1) = 6 – 4х;
3 – 5х – 5 = 6 – 4х;
– 5х + 4х = 5 – 3+6;
– х = 8;
х = – 8.
Ответ: – 8.

Пример 3. Решите уравнение .
Решение:

. Домножим обе части равенства на 6. Получим уравнение, равносильное исходному.
2х + 3(х – 1) = 12; 2х + 3х – 3 =12; 5х = 12 + 3; 5х = 15; х = 3.
Ответ: 3.

Пример 4. Решите систему
Решение:
Из уравнения 3х – у = 2 найдём у = 3х – 2 и подставим в уравнение 2х + 3у = 5.

Получим: 2х + 9х – 6 = 5; 11х = 11; х = 1.
Следовательно, у = 3∙1 – 2; у = 1.
Ответ: (1; 1).
Замечание. Если неизвестные системы х и у, то ответ можно записать в виде координаты точки.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0, где а ≠ 0.

D = b2 – 4ac;

;
нет решения при D < 0.
При решении квадратных уравнений полезно помнить формулу чётного коэффициента, т. е. случай, когда b = 2k или k =b/2:

.

х2 + px + q = 0 – приведённое квадратное уравнение. Для него справедлива теорема Виета:

где х1 и х2 – корни уравнения.

Пример 5. Решите уравнение 3у + у2 = у.
Решение:
3у + у2 = у – неполное квадратное уравнение; у2 + 3у – у = 0;
у2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Помните! Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, но второй при этом имеет смысл.
y1 = 0, или у + 2 = 0;
у2 = – 2.
Ответ: – 2; 0.

Пример 6. Решите уравнение 18 – х2 = 14.
Решение:
18 – х2 = 14 – неполное квадратное уравнение; – х2 = 14 – 18;
– х2 = – 4; х2 =4; х = ± 2.
Ответ: ± 2.

Пример 7. Решите уравнение х2 + 6х – 3 = 2х3.
Решение:
х2 + 6х – 3 = 2х3 – уравнение 3-ей степени. Оно решается разложением на множители: х2 – 2х3 + 6х – 3 = 0;
– х2(2х – 1 ) + 3(2х – 1) = 0;
(2х – 1)(3 – х2) = 0;
2х – 1 = 0 или 3 – х2 =0;
х1 = 0,5; х2,3 =.
Ответ: 0,5; .

Пример 8. Решите уравнение (х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0.
Решение:
(х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0 – биквадратное уравнение. Такое уравнение решается методом подстановки.

Замечание. Метод подстановки позволяет перейти к уравнению, равносильному данному.
Пусть х2 – 5х = t. Тогда уравнение примет вид t2 – 30t – 216 = 0;

x2 – 5х = – 6 или х2 – 5х = 36;
х2 – 5х + 6 = 0 или х2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х1 = 2, х2 = 3, х3 = – 4, х4 =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

Пример 9. Вычислить наибольший корень уравнения х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0.

Решение:

х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0 │: х2 (х ≠ 0)

t2 – 2 – 7t + 14 = 0;

t2 – 7t + 12 = 0;

t1 =3; t2 = 4.

х2 – 3х + 1 = 0 или х2 – 4х + 1 = 0;

D = 9 – 4 = 5, D = 16 – 4 = 12

x1 и х3 – меньшие корни. Остаётся сравнить х2 и х4.

– больший корень.

Ответ:.

Пример 10. Найти все целые решения системы уравнений

Решение:

Решаем уравнение 2(х + у)2 + (х + у) = 21.

Пусть х + у = t. Тогда получим 2t2 + t – 21 = 0; t1 =-7/2 ; t2 = 3.

x + у = -7/2 не удовлетворяет условию задачи, так как хотя бы одно из слагаемых в данной сумме будет нецелым числом.

x + у = 3 – удовлетворяет условию.

Решением системы будут (1; 2) или (2; 1).

Ответ: (1; 2), (2; 1).

Рациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестную в знаменателе, называют рациональным.

При решении рационального уравнения необходимо исключать те значения неизвестного, при которых знаменатель обращается в нуль.

Пример 11. Решить уравнение

Решение:

Область определения уравнения х – 2 ≠ 0. В данном случае левую часть уравнения можно сократить на ( ).

По т. Виета х1 = 1, х2 = 3.

Ответ: 1; 3.

Пример 12. Решить уравнение

Решение:

Ответ: 2.

Пример 13. Решить уравнение

Решение:

Так как x2+5 быть равным нулю не может, то данное уравнение будет равносильно уравнению 3(x2+5)2-23(x2+5)-8=0, которое решается методом подстановки. Пусть x2+5=t.

Имеем 3t2-23t-8=0; t1=-1/3; t2=8.

x2+5≠-1/3. Остаётся x2+5=8; x2=3; x=.
Ответ: .

Пример 14. Решить систему

Решение:

Полученное решение системы удовлетворяет области определения.

Ответ: х = 2; у = 4.

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня n-ой степени, называется иррациональным.
Иррациональное уравнение чаще всего решается путём возведения в степень, которую имеет корень, содержащий неизвестную, или заменой неизвестной. Не следует забывать, что в степень возводятся обе части уравнения.
При возведении в нечётную степень обеих частей уравнения, получаем уравнение, равносильное исходному.
Новое уравнение, получившееся после возведения в чётную степень обеих частей, не всегда равносильно исходному уравнению, поэтому необходимо либо выполнить проверку полученных значений неизвестного путём подстановки в исходное уравнение, либо отбросить корни, не принадлежащие области определения уравнения.

Пример 15. Решить уравнение .
Решение:
Область определения: х + 1 ≥ 0.
x2 – 4 = 0 или х + 1 = 0;
х1 = – 2 , х3 = – 1.
х2 = 2,
х1 = – 2 не принадлежит области определения.
Ответ: – 1; 2

Пример 16. Решить уравнение.
Решение:
Данное уравнение решается возведением в квадрат левой и правой частей, и, так как в правой части уравнения содержится переменная, мы получим уравнение не равносильное исходному.
15 – 3х = х2 + 2х + 1; х2 + 5х – 14 = 0; х1 = – 7, х2 = 2.
Проверка. При х1 = – 7, – не корень.
При х2 = 2, – корень.
Ответ: 3.

Пример 17. Решить систему

Решение:

Замечание. В данном случае не требуется ни проверка, ни нахождение области определения, поскольку правые части обоих уравнений и до возведений в квадрат, и после – заведомо положительны.
Ответ: (29; 20).

Уравнения, содержащие знак модуля

Пример 18. Решите уравнение .
Решение:
х + 5 = 3 или х + 5 = – 3. Откуда х1 = – 2 или х2 = – 8.
Ответ: – 2; – 8.

Пример 19. Решите уравнение .
Решение:

Данное уравнение будем рассматривать на двух числовых промежутках:.

Значение –1/2 назовём пограничным, т. е. при х = –1/2, 2х – 1 = 0.
При имеем –(2x+1)=x+3; -3=4; x=-4/3 - число принадлежит рассматриваемому промежутку, следовательно, –4/3 - корень.
При имеем 2x+1=x+3; x=2 – принадлежит рассматриваемому промежутку, следовательно, является корнем.
Помните! Пограничное значение смены знака необходимо включить хотя бы в один из интервалов.
Ответ: -4/3; 2.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5