Рабочая программа по элективному курсу «Методы решения уравнений, неравенств и их систем», пос. имени Ленина 2015 г (стр. 3 )

Пример 20. Решите уравнение .
Решение:
Двучлен х – 3 меняет свой знак при переходе через х = 3, а х + 1 – при х = – 1. Данное уравнение будем рассматривать на трёх числовых промежутках:
1); имеем-(x-3)-2(x+1)=4; – 3х = 3; х = – 1.
и не является корнем.
2) ;-(x-3)-2(x+1)=4; х = – 1.
, – 1 – корень.
3) ;(x-3)-2(x+1)=4; 3х = 5; х =5/3.
, следовательно, корнем не является.
Ответ: – 1.

Пример 21. Решить систему

Решение:

Ответ: (3; – 1), (1; – 3).

Уравнения с параметром

Пример 22. При каком значении а уравнение х(2 – а) – х = 5 + х не имеет решений?
Решение:
Выразим х через а. 2х – ах – х – х = 5; – ах = 5; х = –5/a.
При а = 0 х не определён.
Подставим а = 0 в исходное уравнение: х(2 – 0) – х = 5 + х; 2х – 2х = 5; 0 ≠ 5, следовательно, при а =0 данное уравнение не имеет решения.
Ответ: при а = 0.

Пример 23. Корни х1 и х2 уравнения х2 + х + а = 0 обладают свойством x12+x22=5 . Найти а.
Решение:
Уравнение х2 + х + а = 0 – приведённое квадратное. По теореме Виета х1 + х2 = – 1, х1 ∙ х2 = а. Т. к. x12+x22=5, то х1 – х2 = – 5.
Имеем х1 = – 3; х2 = 2, следовательно, а = (– 3)∙2= – 6.
Ответ: а = – 6.

Пример 24. При каких значениях параметра n уравнение (n-2)x2-2nx+n+3=0 имеет корни разных знаков.
Решение:
n – 2 ≠ 0. В противном случае – нет квадратного уравнения.
Приведём исходное уравнение (путём почленного деления обеих частей равенства на n – 2) к приведённому:

Чтобы уравнение имело корни разных знаков, необходимо и достаточно выполнение двух условий одновременно:
1) D/4 > 0 (по формуле чётного коэффициента);
2) x1 ∙ x2 < 0 (по теореме Виета):

Ответ: .

Показательные уравнения и системы уравнений

Пример 25. Решите уравнение 62-x=63-2x.
Решение:
62-x=63-2x; 2 – х = 3 – 2х; х = 1.
Ответ: 1.

Пример 26. Решите уравнение .
Решение:
.
Ответ: – 2.

Пример 27. Решите уравнение .
Решение:

Ответ: 2.

Пример 28. Решите уравнение .
Решение:

Проверка. При подстановке полученных значений х1 = 1 и х2 = 10 уравнение обращается в тождество, следовательно, 1 и 10 – корни уравнения.
Ответ: 1, 10.

Пример 29. Укажите промежуток, на котором лежит корень уравнения

Решение:
Применим свойство степени и выделим в левой части уравнения множитель 3х:

Корень уравнения – число 0 – принадлежит промежутку .
Ответ: 1).

Логарифмические уравнения

Пример 30. Укажите отрицательный корень уравнения log5(x2-7x-35)=2.

Решение:

По определению логарифма получаем

Ответ: – 5.

Пример 31. Решите уравнение log3x+log3(3x-2)=log35.

Решение:

Область допустимых значений

В левой части уравнения на основании 3-го свойства получаем log3(x(3x-2))=log35; x(3x-2)=5; 3x2-2x-5=0; x1=5/3; x2=–1. –1 - не принадлежит области допустимых значений, т. е. не является корнем.

5/3 - принадлежит области допустимых значений, т. е. является корнем.

Ответ: 5/3.

Пример 32. Укажите целое решение уравнения

Решение:

Так как правая часть уравнения есть показательная функция, то , т. е. х > 0 и, поскольку x2 – основание логарифма, х ≠ 1.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию x2:

К правой части уравнения применим 5-е свойство логарифмов:

К обеим частям уравнения применим 7-е свойство логарифмов:

К обеим частям уравнения применим 4-е свойство логарифмов, сгруппируем и разложим на множители, получим:

(1-logx4)(1+logx4-logx3)=0

1-logx4=0 или 1+logx4-logx3=0

Из первого уравнения получаем х = 4, из второго х = 3/4.

Все найденные значения неизвестного входят в область допустимых значений уравнения, т. е. являются его корнями. Выбираем только целое - 4.

Ответ: 4.

Задачи для самостоятельного решения

Базовый уровень

Линейные уравнения и системы уравнений

1) Решите уравнение 3x=75

2) Решите уравнение .

3) Решите уравнение.

4) Решите уравнение .

5) Решите уравнение .

6) Решите систему уравнений.

7) Решить систему уравнений.

8) Решите систему уравнений

Квадратные уравнения и системы уравнений

9) Решите уравнение х + х2=0.

10) Укажите меньший корень уравнения (2х – 1)(х+3) = 0.

11) Решить систему уравнений

Рациональные уравнения и системы уравнений

12) Решите уравнение .

13) Решите уравнение .

14) Сколько корней имеет уравнение .

Иррациональные уравнения и системы уравнений

15) Решите уравнение .

16) Решите уравнение .

17) Решите уравнение .

18) Решите уравнение .

19) Решите систему уравнений .

20) Решите систему уравнений .

21) Пусть (х0; у0) решение системы уравнений . Найдите произведение х0 ∙ у0.

22) Решите систему уравнений .

Показательные уравнения и системы уравнений

23) Решите уравнение 52x-3=5 .

24) Решите уравнение 23х+1 = 4.

25) Решите уравнение 9x-5∙3x+1+54=0 .

26) Укажите отрицательный корень уравнения 23x+1-22x=2x+1-1.