В настоящее время идет процесс включения в школьный курс преподавания нового раздела математики - «элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей». Изучение нового материала в соответствии с образовательными стандартами основного общего и среднего (полного) общего образования по математике стало обязательным с 2006- 2007 учебного года.

Однако решение задач, которых не было в традиционном курсе школьной математики, нередко вызывает серьезные затруднения даже у учителей. В частности определенные трудности возникают на пути оперирования школьником основными комбинаторными понятиями - «сочетание», «размещение» и «перестановка». В основном они связаны с действием распознавания того или иного соединения. Поэтому при формировании этих понятий, отдельное место занимают действия сравнения, классификации понятий, распознавания.

Вниманию коллег предлагаю разработку одного из уроков по данной теме.

Тема урока: «Оперирование комбинаторными понятиями».

Цели урока:

- сформировать умения и навыки оперирования комбинаторными понятиями; отработка действий сравнения, распознавания, классификации понятий «сочетание», «размещение», «перестановка» без повторений;

- развитие абстрактного и логического мышления, способности представлять явления в разных комбинациях, математической компетентности, интуиции;

- воспитание волевых качеств, формирование устойчивого интереса к предмету.

Оборудование: демонстрационные таблицы с наглядным материалом, раздаточный материал для самостоятельной работы, мультимедийный проектор, экран.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ход урока:

1 .Самоопределение к деятельности (организационный момент)

- Сегодняшний урок мы посвящаем комбинаторике. Комбинаторика-это раздел математики, в которой изучаются задачи, решение которых предполагает рассмотрение перебора различных вариантов. Вы знаете, что данный раздел математики только-только включается в школьный курс преподавания. Мы с вами уже начали обучение элементам комбинаторики, и я думаю, что рассмотренные темы вас не оставили равнодушными.

Сегодняшний мир настолько перенасыщен информацией, что голова идет кругом. Поэтому я думаю, что никто не подвергает сомнению, что сегодня очень важно развивать комбинаторное мышление, развивать способности представлять явления в разных комбинациях, найти способы решения данной комбинаторной задачи и из всех решений выбрать самое оптимальное.

Но вы, наверное, почувствовали, что решение комбинаторных задач нередко вызывает серьезные затруднения. Опыт показывает, что и с олимпиадными задачами, в которые каждый год включаются задачи по комбинаторике, учащиеся справляются не очень хорошо. Это все из-за того, что у нас нет опыта работы по этому разделу.

Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

На предыдущих уроках мы знакомились с задачами на различные виды соединений. Ответим на следующие вопросы:

- Какова особая примета комбинаторных задач?

- Каким образом можно осуществить подсчет числа вариантов?

- Важен ли здесь порядок?

- Давайте рассмотрим следующую задачу.

В классе 22 ученика, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:

первый ученик должен решить задачу, второй сходить за мелом, третий пойти дежурить в столовую;

2) им следует спеть хором.

Постановка учебной задачи

Ребята, вы смогли догадаться, на какие виды соединений даны вопросы к задаче? Из опыта я знаю, что самое сложное в комбинаторной задаче - это распознать тот или иной вид соединения. Поэтому на сегодняшнем уроке мы займемся поиском сходных и отличительных черт сочетания, размещения и перестановки. Запишите тему урока. (Объяснение нового материала проведем с помощью презентации PowerPoint 2003)


«Открытие» детьми нового знания.

Определение 1. Сочетанием из n элементов по m называется m-элементное подмножество некоторого n-элементного множества.

Вывод: чтобы назвать         какой        -либо объект сочетанием из n по m, необходимо проверить одновременное выполнение следующих условий, существенных признаков понятия «сочетание»:

заданы два множества. одно из множеств является подмножеством другого. основное множество содержит n элементов. подмножество содержит m элементов.

Формула 1: ;

Например: Сколькими способами можно составить букет из 3 цветов, если в вашем распоряжении 5 цветов: мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика?

Решение (обратить внимание на его оформление!):

Основное множество: {мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика} => n=5

Соединение - букет из трех цветков => m=3

Проверим, важен ли порядок:

{тюльпан, лилия, гвоздика} и {лилия, тюльпан, гвоздика} - один и тот же букет => порядок неважен => это подмножество => это сочетание «из пяти по три».

Ответ: 10 букетов.

Определение 2. Размещением из n элементов по m называется последовательность, состоящая из m различных элементов некоторого n - элементного множества.

Характерные особенности понятия «размещение», существенные признаки понятия «размещение»:

задано некоторое множество из n элементов; выделена последовательность элементов этого множества; Эта последовательность содержит m элементов; Эти m элементов различны.

Различие в определениях сочетаний и размещений.

Сочетание - это подмножество, содержащее m элементов из n.

Размещение - это последовательность, содержащая m элементов из n.

Вопрос:        существует ли разница между последовательностью и подмножеством?

Ответ: при формировании последовательности, важен порядок следования элементов, а при формировании подмножества порядок не важен. Значит, при формировании сочетания из n-элементного множества, безразличен порядок следования элементов, а при формировании размещения из n-элементного множества, порядок следования элементов важен.

Формула 2:

Например: Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?

Решение:

Основное множество: {1, 3, 5, 7, 9} - нечетные цифры => n=5.

Соединение - двузначное число => m =2.

Проверим, важен ли порядок: 13≠31 - разные двузначные числа => порядок важен => это последовательность=> это размещение «из пяти по два».

(двузначных чисел)

Ответ: 20 чисел.

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется последовательность, состоящая из всех элементов некоторого n - элементного множества, причем число элементов этой последовательности равно n.

Характерные особенности понятия «перестановка», существенные признаки понятия:

задано некоторое множество из n элементов; составляется последовательность из всех элементов этого множества; эта последовательность содержит n элементов.

Различия и сходства в определениях перестановок и размещений.

Сходства: перестановки и размещения - это последовательности элементов n-элементного подмножества. В них имеет значение порядок следования элементов последовательности.

Различия: В размещении могут участвовать не все элементы исходного множества. В перестановке обязательно участвуют все элементы исходного множества.

Формула 3:

Например: В расписании сессии 3 экзамена (история, геометрия, алгебра). Сколько может быть вариантов расписаний?

Решение:

Основное множество: (история, геометрия, алгебра} => п=3

Соединение - вариант расписания сессии

Проверим, важен ли порядок:

{история, геометрия, алгебра} и {геометрия, история, алгебра} - варианты расписания сессии для разных групп => порядок важен => это последовательность => это размещение «из трех по три» => это перестановка из трех элементов.

Р3 = 3!= 6 (вариантов)

Ответ: 6 вариантов.

Свойства биномиальных коэффициентов, которые помогут облегчить дальнейшие вычисления

(правило симметрии) (правило Паскаля)

Более «сложные» задачи на соединения связаны с двумя правилами

Правило суммы (или сложения): Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать объект А или объект В можно выбрать (т+п) способами.

Правило произведения (или умножения): Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, и после такого выбора объект В может быть выбран п способами, то пару объектов А и В в указанном порядке можно выбрать (т∙п) способами.

Первичное закрепление.

Пример: Сколькими способами можно собрать 3 бандероли с равным количеством книг, если есть 9 книг различных авторов.

Решение:

Основное множество: {1 книга, 2 книга, ..., 9 книга}.

Соединение - бандероль из трех книг => т = 3.

Проверим, важен ли порядок:

{1 книга, 2 книга, 5 книга } и {5 книга, 1 книга, 2 книга } - одна и та же бандероль => порядок неважен => это подмножество => это сочетание «по три»

Учтем, что после того, как соберут первую бандероль («объект А»), останется 6 книг (для выбора «объекта В»), после чего останется всего три книги.

(способов)


Самостоятельная работа (взаимопроверка)

Самостоятельная работа

I вариант

Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в 4-хместной каюте? При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотографиями. Сколько фотографий потребовалось для этого? Сколько бригад по 5 человек в каждой можно составить из 12 человек для отправки на особое задание? Анаграммой называется слово (даже не имеющее смысла), составленное из всех букв данного слова, причем каждая буква повторяется столько раз, сколько раз она входит в данное слово. Сколько анаграмм можно сделать из слова «журнал»?

II вариант

Сколькими способами можно разместить 6 человек на одной скамейке? Сколькими способами могут занять первое, второе, и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 метров? Сколькими способами можно с помощью букв К, L, М, N обозначить вершины четырехугольника? Сколькими различными способами собрание, состоящее из 40 человек, может выбрать из своей среды председателя, его заместителя и секретаря? Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек для переговоров с администрацией для сохранения зарплаты?

Сверка по образцу, исправление и анализ ошибок.

Включение в систему знаний.

Решение олимпиадных задач

(10 класс, 2007 год)

Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех офицеров и семи солдат, если всего 10 офицеров и 20 солдат?

(11 класс, 2007)

Каким числом способов можно разделить колоду карт из 36 карт пополам, так чтобы в каждой пачке было по 2 туза?

(11 класс, 2005)

На плоскости даны 15 точек. Никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых и сколько окружностей определяют эти точки?

(Можно рассмотреть только одну из задач, остальные оставить на дом).


Рефлексия деятельности (итоги урока).

- Что нового узнали на уроке?

-Перечислите существенные признаки понятий «сочетание», «размещение», «перестановка».

-Приведите примеры на каждый вид соединения.

-Кого вы можете отметить?

Домашнее задание.

§2 (Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов, авторы , ) №5, 6, 7.