Подготовка к олимпиаде по математике.
Класс 5
Тема: Элементарные комбинаторные задачи.
Цель: познакомить учащихся с задачами на комбинаторику, приемами их решения: перебор возможных вариантов, построение дерева возможных вариантов, применение правила умножения.
Объяснение материала В старинных сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора.
Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Люди, которые владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций. Примером мог бы послужить сказочный герой Барон Мюнхгаузен, который находил выход из любой сложной и трудной ситуации. В жизни эти умения очень часто помогают человеку. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.
Сегодня рассмотрим с вами некоторые задачи комбинаторики. Мы научимся определять ход их решения, а также познакомимся и научимся применять на практике несколько методов решения комбинаторных задач.
Эти методы носят следующие названия: метод перебора, дерево возможных вариантов.
Учитель: Итак, мы уже сказали, что будем сегодня учиться решать задачи, главным вопросом которых является вопрос “Сколькими способами..”.
Задача 1.
Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ” (нарезать листочки с этими словами – по 7 карточек на каждое слово). Сколькими способами из этих слов можно составить фразу?
Учащиеся предлагают варианты, эти варианты составляют на доске.
Ответ: 6 способов.
Учитель: Здесь был приведен полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят, всех возможных комбинаций. Поэтому это комбинаторная задача. Давайте подумаем, как можно записать, оформить решение этой задачи.
1 способ. Обозначим предложенные слова заглавными буквами:
ДРУЖБА – Д
ЛЮБИТ – Л
ДЕЛО – Е (возьмем вторую букву этого слова)
Тогда все названные вами способы можно просто перечислить: ДЛЕ, ДЕЛ, ЛДЕ, ЛЕД, ЕДЛ, ЕЛД.
2 способ.
Оказывается, решение можно оформить в виде модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна, как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив,
Учащиеся под руководством учителя составляют схему:
Способ 3 (рассуждение)
На первом месте может стоять одно из трех слов: ДРУЖБА, ЛЮБИТ, ДЕЛО. Если первое слово выбрано, то на втором месте может стоять одно из двух оставшихся слов, а на третьем месте – только одно оставшееся слово. Значит, всего вариантов: 
.
Заметим, что последний прием называется правилом умножения.
У каждого из этих трех способов есть свои преимущества и свои недостатки. Выбор решения – за вами! Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.
Задача 2
Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?
¤
Первый овощ М С К
Второй овощ С К М К М С
МС МК СМ СК КМ КС
В итоге получаем 6 вариантов при учете, что мы делаем различие между МС и СМ и другими аналогичными парами. Но, если смотреть на то, что три из них эквивалентны трем другим парам (МС – СМ, МК – КМ, СК – КС), то получаем, что различных вариантов только три.
Задача 3
В компании друзей – 6 человек: Андрей, Борис, Витя, Гриша, Дима, Егор. В школьной столовой за столом 6 стульев. Друзья решили каждый день, завтракая, рассаживаться на эти 6 стульев по-разному. Сколько раз они смогут это сделать без повторений?
Решение:
Воспользуемся правилом умножения. Для удобства рассуждений будем считать, что друзья усаживаются за стол поочередно. Будем считать, что первой усаживается за стол Андрей. У него 6 вариантов выбора стула. Вторым усаживается Борис, и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Витя делает свой выбор третьим и на выбор у него будет 4 стула. У Гриши будет уже 3 варианта, у Димы – 2, у Егора – 1. По правилу умножения получаем:
.
Ответ – 720 дней или почти 2 года.
Учитель: А теперь перейдем к математическим задачам.
У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы,4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить? (Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем «тройку», значит, по правилу умножения получаем 3 • 4 • 2 = 24 варианта костюма.) В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать? (Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11 способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару капитана и его заместителя можно выбрать 11 • 10 = 110 способами.) Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр? (Должно получиться двузначное число – всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 • 3 = 9 способами, т. е. получится 9 чисел. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется? (Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция с учетом исключения повторов цифр - 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 • 4 • 3 = 60 чисел.) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться? ( а) Двузначное число, как и любое многозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию можно поставить лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом повтора, можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается 3 • 4 = 12 чисел; б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т. к. повтор исключается. Получаем 3 • 3 = 9 чисел.) Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? (5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 вариантов.) Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов? (6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 способов.) Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.) В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные? (8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов.) Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9? (Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номеров.)Учитель: Как мы видим, условия задач разные, а решения, по сути дела, одинаковы.
Подготовила: учитель математики КОШ №58
