Контрольная работа по теме "Математическая статистика"

Контрольная работа по теме "Математическая статистика"

Задача №5

Случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Найти математическое ожидание .

Решение

Для решения данной задачи воспользуемся следующей формулой  нахождения математического ожидания непрерывной случайной величины:

,

где – функция плотности распределения вероятности, связанная с функцией распределения следующим равенством:

.

Найдем вначале функцию плотности распределения вероятности:

Подставляя в формулу для нахождения математического ожидания, получим:

.

Ответ: 

Задача №6

Задана двумерная дискретная величина:

	1	2
-2	0,1	0,01
-1	0,2	0,02
0	0,3	0,37

Найти ряд распределения для при условии, что .

Решение

Для удобства, представим таблицу из условия в следующем виде:

	0,1	0,01
	0,2	0,02
	0,3	0,37

Построим ряд распределения для случайной величины , для этого воспользуемся формулой: . В нашем случае:

,

. Тогда ряд распределения для случайной величины имеет вид:

	1	2
p	0,6	0,4

Найдем теперь условные вероятности возможных значений при условии, что по формуле :

,

,

.

Тогда искомый ряд распределения для при условии, что будет иметь вид:

	-2	-1	0
p	0,025	0,05	0,925

Контроль: .

Ответ:

	-2	-1	0
p	0,025	0,05	0,925

Задача№7.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

	2	3	6	9
	0,1	0,4	0,3	0,2

Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что .

Решение

Найдем математическое ожидание и дисперсию :

,

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше чем , то есть:

.

Подставляя сюда , и , получим:

, откуда . Так как события и являются противоположными, а следовательно их сумма равна 1, то искомая оценка имеет вид:

.

Ответ:

Задача №8.

Путем устного опроса изучалось качество продукции, выпускаемой фирмой и реализуемой в магазине этой фирмы. Посетители давали оценку качества по десятибалльной шкале. Были получены следующие результаты:

Оценка качества, балл	1 – 2	3 – 4	5 – 6	7 – 8	9 – 10
Число оценок	3	8	36	89	45

Определить средний балл качества продукции, выборочную и исправленную дисперсии.

Решение

Так как в условии представлен интервальный ряд, то для определения выборочных характеристик воспользуемся формулами:

– средняя выборочная (в нашем случае средний балл),

– выборочная дисперсия,

– исправленная дисперсия.

Где – середины интервалов, – общее количество оценок, – количество оценок, заключенных в данном интервале.

Найдем середины интервалов:

;  ;  ; 

;  .

Общее количество оценок найдем по формуле:

.

Таким образом, средний балл качества продукции равен:

.

Выборочная дисперсия равна:

Тогда исправленная дисперсия равна:

.

Ответ: ; ;

Задача №9.

Взято 16 проб молока, поступивших на реализацию из акционерного сельскохозяйственного предприятия. Средняя жирность молока составила 3,7% при среднем квадратичном отклонении 0,5%. Какова вероятность того, что средняя жирность молока всех партий не выйдет за пределы от 3,6% до 3,8 %?

Решение

В данной задаче нам необходимо найти с какой надежностью (доверительной вероятностью) средняя жирность молока всех партий не выйдет за пределы от 3,6% до 3,8 %. Для этого воспользуемся интервальной оценкой математического ожидания a нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении :

,

где t – значение аргумента функции Лапласа , которая связана с доверительной вероятностью следующим образом:  .

Найдем t, воспользовавшись, например, левой частью неравенства:

, подставляя известные значения, имеем:

, откуда .

Тогда

, откуда . Значение функции Лапласа находим по таблице . Подставляя, получаем искомую вероятность

.

Ответ:

Задача №10.

Распределение работников предприятия по стажу их работы на данном предприятии представлено интервальным рядом:

Стаж работы, лет	До 1	1 – 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 – 25
Число работников	8	12	16	14	10	5

На уровне значимости проверить гипотезу о том, что данная генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения.

Решение

В качестве основной гипотезы будем рассматривать гипотезу . Для её проверки воспользуемся критерием Пирсона.

Начнём решение задачи с определения выборочных характеристик. Так как мы имеем интервальный ряд, то воспользуемся формулами:

– средняя выборочная,

– выборочная дисперсия,

– среднее квадратичное отклонение.

Где – середины интервалов, – общее число работников, – число работников, возраст которых заключен в данном интервале.

,

,

.

Для определения составим таблицу:

Интервал, Ik	Частоты, nk
0 – 1	8	0,023	28,3
1 – 5	12	0,148	0,589
5 – 10	16	0,279	0,251
10 – 15	14	0,27	0,718
15 – 20	10	0,151	0,003
20 – 25	5	0,047	1,238

,

,

,

,

,

.

Тогда

Для определения критической точки воспользуемся таблицей критических точек распределения . Так как неизвестные параметры распределения были заменены их точечными оценками, число степеней свободы будет на 3 меньше числа интервалов, то есть . Итак, .

Так как , то гипотеза  не принимается.

Ответ: данные не согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения.