Экзаменационные вопросы по курсу «Математический анализ»

Экзаменационные вопросы по курсу «Математический анализ»  II курс, 3-й семестр (2017-2018 учебный год)  Направления: ЯФТ, физика, геофизика, авиастроение, ЭЭ, химия, ХФММ.

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Ряд геометрической прогрессии. Критерий Коши сходимости ряда, следствия из него. Свойства, связанные со сходимостью ряда. Ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие их сходимости. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена. Обобщённый гармонический ряд (ряд Дирихле). Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница. Лемма Абеля. Признак Дирихле-Абеля. Примеры. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость в точке и на множестве. Примеры.  Равномерная сходимость на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и ряда. Достаточные признаки равномерной сходимости. Признак Дирихле-Абеля. Признак Вейерштрасса. Признак Дини. Почленный переход к пределу. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда и непрерывность предельной функции равномерно сходящейся последовательности. Почленное интегрирование функциональных последовательностей и рядов. Почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Радиус сходимости степенного ряда и способы его определения. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Условия разложения функции в ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. Пространство кусочно-непрерывных функций. Ортонормированные системы. Примеры. Ряд Фурье по ортонормированной системе. Теорема об отклонении по норме, следствия из неё. Неравенство Бесселя. Тригонометрический ряд Фурье на . Замкнутые и полные ортонормированные системы. Равенство Парсеваля. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами (теорема Вейерштрасса). Замкнутость тригонометрической системы. Следствия. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Простейшие условия почленного дифференцирования ряда Фурье. Ряд Фурье для периодической с периодом функции на . Определение и существование двойного интеграла для прямоугольника. Определение и существование двойного интеграла для произвольной области.  Основные свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному однократному. Геометрические и механические приложения двойного интеграла. Тройные и n - кратные интегралы. Замена переменных в n - кратном интеграле. Формула замены переменных в полярных, цилиндрических и сферических координатах. Геометрические и механические приложения тройного интеграла. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определённым интегралам. Свойства криволинейных интегралов. Приложения криволинейных интегралов.

Лектор: доцент, к. т.н.