Удельная энергоемкость маховичных накопителей энергии (стр. 2 )

Подставляем найденные константы в выражение для и :

Введем новые обозначения

Выражения для напряжений примут вид следующий вид

Потенциальная энергия деформации может быть записана в виде

Для нахождения решения, воспользуемся пакетом «Математика» [5]. Получаем следующий ответ:

Преобразуем полученный ответ

Окончательное выражение для потенциальной энергии

Кинетическая энергия вращения диска определяется в виде

где момент инерции для полого круглого цилиндра

.

Найдем отношение потенциальной энергии деформации к кинетической энергии

Получаем, что

Т. к. масса диска равна

,

то отношение потенциальной энергии к массе определяется соотношением

,

а отношение кинетической энергии к массе определяется соотношением

.

Напряжение положительно и достигает наибольшей величины при :

.

Напряжение также положительно при всех значениях и достигает максимума при :

.

Всегда имеет место неравенство . Поэтому условие прочности должно быть записано, например, по I теории прочности:

,

или в пределе

.

Тогда соотношения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии вращения, их отношения, а также удельной потенциальной и кинетической энергий могут быть записаны в виде:

  ,

  ,

.                                

Таким образом, удельная энергоемкость вращающегося диска с осевым отверстием может быть записана в виде

Сплошной диск

 

Рис.2. Сплошной диск

Формулы для определения напряжений в сплошном диске примут вид

В этом случае радиальные перемещения следует искать в виде

Подставляя выражение для в уравнение (1), получим:

Соотношения для напряжений приобретают вид:

Простейшие статические условия на внешней поверхности имеют вид:

,

Простейшее кинетическое условие в центре диска имеют вид:

 

Используя это условие, определим неизвестную константу :

Подставляем найденную константу в выражение для и :

Используя обозначения, веденные ранее, напряжения можно определять по формуле:

Оба напряжения положительны и увеличиваются с приближением к оси диска. На оси диска (при ) оба напряжения максимальны и равны между собой

.

Т. к. касательные напряжения на любой площадке, включающей ось симметрии диска , равны нулю, то   и   являются главными напряжениями, а в случае плоского напряженного состояния . Тогда для оценки величины напряжений, при котором будет происходить разрушение материала, можно использовать условие прочности по IV теории. В данном случае оно будет выглядеть как

Тогда соотношения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии вращения, их отношения, а также удельной потенциальной и кинетической энергий могут быть переписаны в виде:

Момент инерции для сплошного диска: , тогда

,

.

Масса для сплошного диска равна: ,

,

.                                

Удельная энергоемкость вращающегося сплошного диска может быть записана в виде

 

Диск равного сопротивления

 

Рис.3. Диск равного сопротивления

Запишем уравнение равновесия для диска равного сопротивления:

 

Если же диск будет иметь не постоянное по высоте поперечное сечение, то в этом случае можно подобрать такой профиль, что окружные и радиальные напряжения во всех точках диска будут постоянными и равными . Тогда уравнение равновесия будет дифференциальным уравнением для функции , а именно: