МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ


НОВОСИБИРСКИЙ

  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ

  УНИВЕРСИТЕТ


ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

КАФЕДРА «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА»

“УТВЕРЖДАЮ”

Декан факультета АВТ

проф.

“___”_______2009 г.

РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА  УЧЕБНОЙ  ДИСЦИПЛИНЫ

«Вычислительная математика»

230100 (552800) «Информатика и вычислительная техника»

Очное отделение

Квалификация – бакалавр

  Курс____________2                         Семестр  IV

Лекции _________34_______час.

Лабораторные

работы  ________34_______час.

Самостоятельная

работа  _________48_______час.

Всего часов _____110______час.

Расчетно-графическая

работа  IV  семестр

Экзамены  семестр

Зачёты  IV  семестр

Новосибирск

2009

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению (специальности) 552800 Информатика и вычислительная техника от 01.01.2001 г., регистрационный номер 36 тех/бак.

Шифр дисциплины в ГОС: ЕН. Ф.01.5

Рабочая программа с изменениями обсуждена и утверждена на заседании кафедры Вычислительной техники 30 ноября 2009 г., протокол №13.

Программу разработал

профессор, д. т.н., профессор                                                        

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Заведующий кафедрой

д. т.н., профессор                                                                        

Ответственный за основную

образовательную программу

Заведующий кафедрой ВТ,

д. т.н., профессор                                                                        



    ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Выписка из квалификационных требований ГОС.

Подготовка выпускника должна обеспечивать квалификационные умения для решения профессиональных задач:

- участие во всех фазах проектирования, разработки, изготовления и сопровождения объектов профессиональной деятельности;

- участие в разработке всех видов документации на программные, аппаратные и программно-аппаратные комплексы;

- использование современных методов, средств и технологии разработки объектов профессиональной деятельности;

- участие в проведении научных исследований и выполнении технических разработок в своей профессиональной области;

- осуществление сбора, обработки, анализа и систематизации научно-технической информации по заданной теме своей профессиональной области с применением современных информационных технологий;

- взаимодействие со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности в научных исследованиях и проектно-конструкторской деятельности, а также в управлении технологическими, экономическими и социальными системами.

    ОСОБЕННОСТИ (ПРИНЦИПЫ) ПОСТРОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
      Основание для введения - ГОС направления. Дисциплина «Вычислительная математика» входит в число обязательных дисциплин федерального компонента. В основу курса «Вычислительная математика» положены следующие принципы:
    цель преподавания дисциплины состоит в изучении основ вычислительной математики как научной и прикладной дисциплины, достаточные для дальнейшего продолжения образования в области вычислительной техники и смежных с ней областях; курс предусматривает дать студентам представление о роли и месте вычислительной математики и специалиста-алгоритмиста при постановке, выборе эффективных алгоритмов и интерпретации результатов решения задач в области проектирования и эксплуатации средств вычислительной техники. оценка знаний и умений студентов проводится во время защиты реферата и сдачи зачета.
    ЦЕЛИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

№ цели

Содержание цели

Студент должен иметь представление:

1

о понятиях, методах, средствах вычислительной математики.

Студент должен знать:

2

основные задачи, методы и алгоритмы вычислительной математики;

3

взаимосвязь вычислительной математики и других научных дисциплин.

Студент должен уметь:

4

делать обоснованный выбор средств решения конкретных задач численного анализа.

Студент должен иметь навыки:

5

сводить постановки задач на содержательном уровне к формальным и относить их к соответствующим формальным моделям численного анализа;

6

ориентироваться в структуре математических моделей как средствах вычислительной математики.
    СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Часы

4.1. Темы лекционных занятий

4

1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

1.1. Приближенные числа. Классификация погрешностей

1.2. Основные источники погрешностей

1.3. Значащая цифра. Число верных знаков

1.4. Правила округления чисел

1.5. Вычисление погрешности функции от п аргументов

1.6. Вычисления без точного учета погрешностей

1.7. Обратная задача теории погрешностей

1.8. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей

4

2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

2.1. Приближение функций рядами Тейлора

2.2. Интерполяция многочленом Лагранжа

2.2.1. Постановка задачи и оценка ее сложности

2.2.2. Оценка погрешности приближения функции

2.2.3. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега

2.3. Интерполяция многочленами Чебышёва. Минимизация остаточного члена интерполяции.

2.4. Тригонометрическая интерполяция

2.4.1. Конечные ряды Фурье

2.4.2. Точность разложения по рядам Фурье

2.5. Разделенные разности

2.5.1. Простейшие свойства разделенной разности

2.5.2. Интерполяционный полином в форме Ньютона

2.6. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция. Сплайны

2.6.1. Определение сплайнов

2.6.2. В-сплайн

2.7. Наилучшее приближение в нормированных пространствах

2.7.1. Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

2.7.2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций многочленами

2.8. Ортогональные системы и их свойства

2.8.1. Гильбертовы пространства. Процесс ортогонализации

2.8.2. Ортогональные многочлены и их свойства

2

3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3.1. Приближенное нахождение производной

3.2. Вычисление второй производной

3.3. Приближенное нахождение определенного интеграла

3.4. Формула Симпсона

3.5. Свойства формулы Симпсона

3.6. Примеры дискретных задач, отвечающих задачам анализа

4

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Метод исключения Гаусса

4.1.1. Трудности в методе исключения

4.1.2. Приближенность вычислений. Выбор главного элемента

4.1.3. Трудоемкость метода исключения для системы n линейных уравнений

4.1.4. Трехдиагональная система

4.1.5. Метод исключения и определители

4.1.6. Решение системы линейных уравнений и обращение матриц

4.2. LU – разложение

4.3. Итерационные методы решения СЛАУ

4

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.1. Локальная постановка задачи

5.2. Метод половинного деления

5.3. Линеаризация

5.4. Метод Ньютона

5.4.1. Поведение последовательности x(s)

5.4.2. Алгебраические уравнения

5.4.3. Огрубленный метод Ньютона

5.4.4. Метод Ньютона как метод итераций

5.4.5. Достаточное условие сходимости итераций

5.4.6. Добавления и уточнения к теореме о сходимости итераций

5.4.7. Сходимость огрубленного метода Ньютона для некратного корня

5.4.8. Сходимость метода Ньютона

5.4.9. Система двух уравнений

5.4.10. Система уравнений. Метод Ньютона

5.4.11. О сходимости метода Ньютона для системы уравнений

5.5. Итерации в системах

5.6. Процесс итераций в линейном приближении

4

6. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1. Постановка задачи Коши

6.2. Теоретическое отступление

6.3. Стандартная запись

6.4. Метод Эйлера

6.4.1. Использование старших производных

6.4.2. Многократное использование заданного уравнения

6.5. Идея Адамса: использование уже найденного участка решения для приближенного вычисления старших производных

6.6. Исторические и другие замечания

6.7. Дополнения и примечания

6.7.1. Сведение произвольной системы к автономной

6.7.2.         Вычисления, приводящие к формулам метода Адамса

6.7.3.         Формулы Рунге-Кутта для общей системы 1 порядка

4

7. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ

7.1. Уравнения в частных производных

7.2. Простейшие разностные аппроксимации

7.3. Теорема

7.4. Определение устойчивости

7.5. Пояснения и замечания к определению устойчивости

7.6. Обнаружение неустойчивости разностных аппроксимаций по методу Фурье

7.7. Пример доказательства устойчивости разностной схемы

4

8. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ. ВОПРОС О ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

8.1. Простейшая неявная схема

8.2. Решение уравнений на слое. Прогонка

8.3. Об устойчивости неявной схемы

8.4. О необходимом условии устойчивости

8.5. Типичная картина при возникновении неустойчивости

8.6. Линеаризация и «замораживание» коэффициентов

8.7. Понятие о точности разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений

8.8. Определение порядка точности при приближенном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений

4

9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

9.1. Постановка задачи

9.2. Способ решения краевой задачи, вытекающей из теории дифференциальных уравнений

9.3. К чему может привести «сокращение знаков»

9.4. Отступление. Что значит «хорошая» краевая задача?

9.5. Разностная задача, отвечающая краевой задаче (I)

9.6. Идея переноса граничных условий

9.7. «Прогонка» для дифференциального уравнения (9.1)

9.8. Аналогия с дискретной задачей

Часы

4.2. Темы лабораторных занятий

4

Вычисление значений аналитических функций с помощью различных алгоритмов приближения.

4

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

4

Решение систем нелинейных уравнений.

4

Интерполирование и экстраполирование функций.

4

Численное дифференцирование и интегрирование функций.

12

Приближённые аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений.

4.3. Требования к расчетно-графической работе

В начале семестра студенты получают индивидуальные задания, содержащие 6 задач из соответствующих разделов вычислительной математики. При этом предполагается исследование эффективности различных алгоритмов для решения одной и той же задачи по критериям точности и быстродействия в области сходимости.

    САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

Виды и содержание самостоятельной работы

Время (час)

Формы и контроль

Литература и дидактические материалы

1. Подготовка к лабораторным занятиям

1 час в неделю

Защита

работ

Теоретическая часть лабораторного занятия, текст лекций

2. Выполнение расчетно-графической работы

5

Сдача РГР

Лекционный материал и основная литература по дисциплине

3. Подготовка к зачету

8

Сдача зачета

Лекционный материал и основная литература по дисциплине

6.        СИСТЕМА КОНТРОЛЯ И ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ

Для аттестации студентов по дисциплине используется балльно-рейтинговая система. Рейтинг студента по дисциплине определяется как сумма баллов за работу в семестре (текущий рейтинг) и баллов, полученных в результате итоговой аттестации (зачет).

В таблице приведено максимальное количество баллов, которое может набрать студент по видам учебной деятельности в течение семестра и диапазоны баллов, соответствующие минимальному и максимальному количествам баллов. Максимальная сумма баллов за семестр составляет 100 баллов (текущий рейтинг – 60 баллов, итоговая аттестация – 40 баллов).

Правила текущей аттестации:

В течение семестра необходимо представить и защитить 6 лабораторных работ, расчетно-графическую работу в сроки, установленные учебным графиком (см. таблицу). К защите допускаются студенты, выполнившие лабораторные работы, РГР в полном объеме (все задания согласно варианту) и оформившие отчет по работе в соответствии с требованиями. На защите предлагается два теоретических вопроса и один практический вопрос (по ходу выполнения работы). Максимальное количество баллов (8 или 12 в зависимости от вида работы) выставляется, если студент полностью ответил на все вопросы, без серьезных замечаний и недочетов. Количество баллов 4 - 8 или 6 - 12 (в зависимости от вида работы) выставляется, если студент полностью ответил на два вопроса из трех, причем один из вопросов – практический. Минимальное количество баллов 3 или 6 - 8 (в зависимости от вида работы) выставляется, если студент ответил на два вопроса из трех частично, с серьезными замечаниями, недочетами. Пересдача лабораторной работы, РГР назначается, если студент не ориентируется в учебном материале, не может объяснить ход и результаты выполнения работы. В случае пересдачи работы происходит потеря баллов (максимальное количество баллов составляет 7 или 10 в зависимости от вида работы). В случае представления и защиты работ с опозданием от учебного графика происходит потеря баллов (опоздание на 1 неделю – потеря 1 или 2 баллов в зависимости от вида работы, опоздание на 2 недели – потеря 2 или 4 баллов, 3 недели и более – потеря 50% баллов от максимально возможного).

Правила итоговой аттестации:

К зачету допускаются студенты, сдавшие лабораторные работы, РГР, и набравшие не менее 50% (30 баллов) по результатам текущего рейтинга. Зачет проводится в устном виде, предлагается одна практическая задача и один теоретический. Максимальное количество 36-40 баллов выставляется, если оба задания выполнены полностью, без серьезных замечаний. Количество баллов 30-35 выставляется, если успешно выполнено практическое задание, а теоретическое задание с замечаниями или недочетами. Минимальное количество баллов 20-29 выставляется, если выполнено практическое задание, но с серьезными ошибками, замечаниями, недочетами.

Таблица

№

п/п

Вид учебной работы (учебной деятельности)

Максимальное количество баллов

Диапазоны баллов

Срок представления и защиты (неделя семестра)

1.

Лабораторная работа №1

8

4 - 8

2

2.

Лабораторная работа №2

8

4 - 8

4

3.

Лабораторная работа №3

8

4 - 8

6

4.

Лабораторная работа №4

8

4 - 8

8

5.

Лабораторная работа №5

8

4 - 8

10

6.

Лабораторная работа №6

8

4 - 8

16

7.

Расчетно-графическая работа

12

6 - 12

14

Итого по текущему рейтингу:

60

30-60

8.

Зачет

40

20-40

Итого за семестр:

100

63 - 100 (зачтено)


7. ЛИТЕРАТУРА

7.1. Основная литература

Калиткин методы. М., Наука, 1978г. , Гулин методы М., Наука, 1989г. , , . Численные методы. М., Наука, 1987

7.2. Рекомендуемая литература

, Демидович вычислительной математики М., ГИФЛ, 1960г. Турчак численных методов М., Наука, 1987г. , Овчинский численного анализа и математической обработки результатов опыта М., Высшая школа 1979, 2ое изд. , Марон математика в примерах и задачах. М., Наука, 1972г. , Данилова по численным методам М., Наука, 1979г. , Славина практикум по высшей математике. 4ч. пособие. Изд 2. М., Высшая школа, 1994г. Мудров методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль Томск, МП “РАСКО”, 1992г.