4. Математический инструментарий
финансового менеджмента
4.1. Фактор времени в финансовых операциях
В финансовых операциях денежные суммы непременно связаны с конкретными периодами времени, поэтому в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Необходимость учета временного фактора выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени.
Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы с условием, что через определенное время будет возвращена бльшая сумма. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована с помощью абсолютного либо относительного показателя.
Проценты (процентные деньги) – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме (выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т. д.).
Процентная ставка – это относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т. е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени.
Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления.
Процентные ставки различаются следующим образом:
по базе начисления: при постоянной базе используют простые, при переменной – сложные процентные ставки; по принципу расчетов процентов: наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности, соответственно этому применяют ставки наращения (декурсивные) и учетные ставки (антисипативные); процентные ставки могут быть фиксированными (в контракте указывается их размер) или плавающими (фиксируется не ставка, а изменяющаяся во времени база и размер надбавки к ней – маржа); проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т. д.), называют дискретными, а в финансовых расчетах, связанных с процессами, которые можно рассматривать как непрерывные, возникает необходимость в применении так называемых непрерывных процентов; различные виды финансовых операций предусматривают различные схемы начисления процентов: как правило, в договорах указывается номинальная процентная ставка, а для обеспечения анализа эффективности финансовых операций используют показатель эффективной процентной ставки – это реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов несколько раз в течение года.Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, называют процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая ставка – ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка, называют процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а используемая ставка – ставкой дисконтирования.
Под наращенной (возвращаемой) суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока. Существуют две схемы начисления простых и сложных процентов. В финансовых операциях срок обычно измеряется в годах, соответственно процентная ставка (i) является годовой ставкой, тогда начисленные за весь срок проценты составят
. (4.1)
Наращенная сумма будет
, (4.2)
где I – сумма процентов за весь срок финансовой операции;
P – исходная сумма;
F – будущая сумма;
i – процентная ставка;
n – срок финансовой операции.
Выражение (4.2) называется формулой наращения по простым процентам, сомножитель 
– множителем наращения по простым процентам.
Срок финансовой операции может быть менее года:
, (4.3)
где t – число дней ссуды;
K – число дней в году (временная база).
При финансовых расчетах применяют две временные базы: если
K = 360 дней, тогда получают обыкновенные (коммерческие) проценты; если K = 365 или 366 дней, получают точные проценты.
Операция дисконтирования представляет собой задачу, обратную наращению, и формулируется следующим образом: какую первоначальную сумму Р необходимо инвестировать, чтобы получить в конце срока некую сумму F при условии начисления процентов по ставке i?
. (4.4)
Дробь 
называется дисконтирующим множителем по простым процентам.
Если проценты не выплачиваются после их начисления, а присо-
единяются к первоначальной сумме для наращения, применяют схему сложных процентов. Присоединение начисленных процентов к базовой сумме называется капитализацией процентов. При таких условиях будущая сумма составит
. (4.5)
Величину 
называют множителем наращения по сложным процентам или мультиплицирующим множителем FM1(i, n), расчетные значения его табулированы для различных значений i, n.
Если капитализация процентов происходит несколько раз в течение года, то начисление выполняется по ставке 
, количество периодов начисления равно 
, наращенная сумма будет
(4.6)
где m – количество начислений процентов в течение одного года.
Для сравнения финансовых операций с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками применяется эффективная процентная ставка (j). Эффективная процентная ставка – это реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов несколько раз в течение года. Это ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке 
, т. е. 
, тогда эффективная процентная ставка
. (4.7)
Настоящая стоимость средств с начислением процентов один раз в год будет
(4.8)
Величина 
называется дисконтирующим множителем по сложным процентам FM2(i, n), его значения отражены в финансовых таблицах для различных i и n.
4.2. Классификация потоков платежей
и их оценка
Финансовые операции часто представлены не разовыми платежами, а некоторой последовательностью платежей, которую называют потоком платежей, а отдельную часть потока называют элементом потока. В финансовом менеджменте различные потоки платежей классифицируют следующим образом:
а) по количеству платежей на протяжении года:
- годовые (один платеж в год); р-срочные (р раз платежей в течение года);
б) по количеству начислений процентов на протяжении года:
- ренты c начислением процентов один раз в год; ренты с m-разовым начислением процентов в течение года;
в) по величине элемента ренты:
- постоянные (одинаковые платежи); переменные (разные платежи);
г) по моменту выплат платежей в пределах периода:
- пренумерандо (платежи в начале периода); постнумерандо (платежи в конце периода).
Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом. Ренты имеют следующие параметры:
- элемент ренты – размер отдельного платежа (Ct); период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами; срок ренты – общий период ренты: от начала первого до конца последнего периода (n); процентная ставка (i); число платежей в год; способ и частота начисления процентов.
Стоимость ренты пренумерандо и постнумерандо различается по величине. Будущая стоимость ренты – это сумма всех элементов ренты с начисленными на них процентами к концу срока (постнумерандо), находится суммированием всех ее элементов, рассчитанных по схеме сложных процентов:
, (4.9)
где Fpst – будущая стоимость ренты постнумерандо;
Ct – размер отдельного платежа (элемента) ренты в период t;
n – общий срок ренты;
i – годовая процентная ставка.
В случае постоянной ренты будущая стоимость постнумерандо
, (4.10)
где 
– коэффициент наращения ренты (мультиплицирующий множитель FM3(i, n)), расчетные значения его также табулированы.
Приведенная стоимость ренты постнумерандо (Ppst ) есть сумма всех элементов ренты, дисконтированных на некоторый первоначальный момент времени, и находится суммированием всех ее элементов, рассчитанных по схеме сложных процентов:
. (4.11)
Если все элементы ренты – одинаковые величины (постоянная рента), то:
- с начислением процентов один раз в год
, (4.12)
где 
– коэффициент приведения ренты (дисконтирующий множитель FM4(i, n)), его расчетные значения также отражены в финансовых таблицах;
- с m-разовым начислением процентов
. (4.13)
Будущая стоимость ренты пренумерандо
. (4.14)
Она связана с рентой постнумерандо следующим образом:
. (4.15)
Для постоянных рент с m-разовым начислением процентов
. (4.16)
Для р-срочных постоянных рент с m-разовым начислением процентов
. (4.17)
Приведенная стоимость ренты пренумерандо
, (4.18)
где Ppre – приведенная стоимость ренты пренумерандо.
Связь приведенной стоимости ренты пренумерандо с рентой постнумерандо можно представить в виде
. (4.19)
С m-разовым начислением процентов формула (4.19) будет иметь вид
. (4.20)
