Примерный вариант ЕГЭ
профильного экзамена по математике
1. В университетскую библиотеку привезли новые учебники для четырех курсов, по 70 штук для каждого курса. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Какое наименьшее количество шкафов потребуется, чтобы в них разместить все новые учебники?
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
3. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см 
1 см (см. рис.). В ответе запишите 
.
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 60 спортсменок: 27 из Японии, 27 из Китая, остальные из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.
5. Найдите корень уравнения 52 + x = 125x.
6.
В треугольнике 
угол 
равен 
Найдите 
7. 
На рисунке изображен график производной функции 
, определенной на интервале 
. Найдите промежутки убывания функции 
. В ответе укажите длину наибольшего из них.
8. 
Радиусы двух шаров равны 21 и 72. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
9. Найдите 
, если 
.
10. Двигаясь со скоростью 
м/с, трактор тащит сани с силой 
кН, направлен-ной под острым углом 
к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле
. Найдите, при каком угле 
(в градусах) эта мощность будет равна 225 кВт (кВт — это 
).
11. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 2 дня. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 1 день выполняет такую же часть работы, какую второй — за 2 дня?
12.Найдите наименьшее значение функции 
.
13. а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
14. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
15. Решите неравенство: 
16. Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 13, MN = 6. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 3 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.
17. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
18. Найдите все значения параметра 
при каждом из которых система
имеет единственное решение.
19. Найдите все целые значения 
и 
такие, что 
Пояснения и ответы к варианту
1. Решение.
Всего привезли 70 
4 = 280 учебников по ветеринарии. В книжном шкафу помещается 25 
7 = 175 учебников. Разделим 280 на 175:
.
Значит, чтобы вместить все книги понадобится 2 шкафа.
Ответ: 2.
2. Решение.
Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C (см. рисунок).
Ответ: −10.
3. Решение.
Найдем квадрат радиуса круга 
см2.
Площадь фигуры равна трем четвертым площади этого круга. Поэтому
см2.
Ответ: 15.
4. Решение.
В чемпионате принимает участие 
спортсменок из Кореи. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи, равна
Ответ: 0,1.
5. Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
Ответ: 1.
6. Решение.
Зная, что 
а 
по определению косинуса имеем:
Тогда по теореме Пифагора
Приведем другое решение
Ответ: 6.
7. Решение.
Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалам (−1; 5) длиной 6 и (7; 11) длиной 4. Длина наибольшего из них 6.
Ответ: 6.
8. Решение.
Из условия 
находим:
.
Ответ: 75.
9. Решение.
Подставим аргументы в формулу, задающую функцию:
Следовательно, 
Ответ: 0.
10. Решение.
Задача сводится к решению неравенства 
на интервале 
при заданных значениях силы 
кН и скорости 
м/с:
.
Таким образом, максимальный угол 
равен 60 градусам.
Ответ: 60.
11. Решение.
Примем всю работу за 1. Пусть первый рабочий, работая отдельно, выполнит ее за x дней. Тогда второй рабочий выполнит ее за 2x дней. Поскольку, работая вместе, они выполняют всю работу за 2 дня, имеем:
Таким образом, первый рабочий, работая отдельно выполнит работу за 3 дня.
Ответ: 3.
12. Решение.
Квадратный трехчлен 
с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке 
, в нашем случае — в точке -7. Функция 
в этой точке определена и принимает значение 
. Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции.
Ответ: 13.
13. Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
Значит, или 
откуда 
или 
откуда 
или 
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
Получаем числа: 
Ответ: а) 
б) 
14. Решение.
Пусть 
— высота правильной шестиугольной пирамиды 
с вершиной 
тогда треугольник 
прямоугольный, 
откуда
Треугольник 
равносторонний, следовательно, 
В треугольнике 
высота
В правильном треугольнике 
высота 
Центр 
сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте 
, точка 
касания сферы и боковой грани 
лежит на отрезке 
Треугольники 
и 
подобны, поэтому
где 
— радиус сферы. Площадь сферы 
Ответ: 
Укажем другой путь нахождения радиуса.
Объем пирамиды равен
.
Площадь полной поверхности пирамиды равна
Тогда
15. Решение.
Перепишем неравенство в виде:
Множество решений исходного неравенства: 
Ответ: 
16. Решение.
Пусть точка Q лежит между K и N (рис.1), P — точка касания прямой MQ с данной окружностью. Обозначим KQ = x.
Из прямоугольного треугольника QPK по теореме Пифагора находим
Прямоугольные треугольники QPK и QNM подобны, поэтому 
откуда 
Тогда
Если точка Q лежит на продолжении стороны NK за точку K (рис.2), то, рассуждая аналогично, получим уравнение 3x2 − 26x − 205 = 0, из которого 
Ответ: 5 или 
17. Решение.
Не снижая общности рассуждений, примем начальную сумму кредита за 100 руб. и будем считать, что выплаты производились 10 числа каждого месяца. Составим таблицу выплат:
Дата | 14.02 | 14.03 | 14.04 | 14.05 | 14.06 | 14.07 |
Долг, руб. | 105 | 94,5 | 84 | 73,5 | 63 | 52,5 |
Выплата, руб. | 15 | 14,5 | 14 | 13,5 | 13 | 52,5 |
Остаток долга на день выплаты, руб. | 90 | 80 | 70 | 60 | 50 | 0 |
Остаток долга на день выплаты, % | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
Тем самым, полная сумма выплат равна 15 + 14,5 +14 +13,5 +13 + 52,5 = 122,5 руб., переплата составила 22,5%.
Ответ: 22,5.
18. Решение.
Преобразуем исходную систему:
Уравнение 
задает пару пересекающихся прямых 
и 
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой 
то есть лучи 
и 
(без точек 
и 
), см. рис.
Уравнение 
задает прямую 
с угловым коэффициентом 
проходящую через точку 
Следует найти все значения 
при каждом из которых прямая 
имеет единственную общую точку с объединением лучей 
и 
а) Прямая 
задается уравнением 
Поэтому при 
прямая 
не пересечет ни луч 
ни луч 
б) Прямая 
задается уравнением 
Поэтому при прямая 
пересечет луч 
но не пересечет луч 
в) При 
прямая 
пресечет и луч 
и луч 
г) Наконец, при 
прямая 
пересечет только луч 
а при 
она не пересечет ни луч 
ни луч 
Ответ: 
19. Решение.
Заметим, что из условия следует, что 
Далее имеем:
1. Если 
то каждое из слагаемых равно 
и при 
равенство будет верно.
2. Если 
левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем 
сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем:
Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет.
3. Если 
то 
исходное уравнение равносильно уравнению:
Числа 
и 
на три нацело не делятся, следовательно, 
откуда 
и 
Последнее уравнение натуральных решений не имеет.
Ответ: 
