Ортооптическая окружность эллипса и ее обобщение.
Исследовательская работа
Выполнена ученицей
11 класса гимназии №32
г. Калининграда
Артемовой Марией Владиславовной
Научный руководитель:
зав. кафедрой геометрии и общей математики
Российского государственного
университета им. И. Канта, канд. физ. мат. наук
Калининград
2011
Оглавление
Введение 2
Ортооптическая окружность эллипса и ее обощение 3
Заключение 9
Список литературы 10
Введение
В книге Э. Картана «Риманова геометрия в ортогональном репере» [5 стр.254] написано, что если мы смотрим на эллипс из точки 
под углом 
, то эта точка 
принадлежит окружности. Данная окружность называется ортооптической. Ортооптическая окружность – геометрическое место точек на плоскости, из которых эллипс виден под прямым углом. Мы решили обобщить данную задачу и поставить аналогичную, но при неопределенном угле 
и тогда мы получаем уже другие кривые 4-го порядка.
Ортооптическая окружность эллипса и ее обобщение.
Ортооптическая окружность
Радиус окружности вычисляется, как половина диагонали прямоугольника:
Альфаоптическая окружность
Решим задачу, когда мы смотрим из точки 
не под прямым углом. Тогда найдем уравнение кривой, на которой находится точка 
. Для этого запишем уравнение прямой, проходящей через точку 
:
(1)
Запишем каноническое уравнение эллипса [2 стр.246-248; 3 стр.621; 4 стр.49]:
(2)
Возведем уравнение (1) в квадрат:
(3)
Для нахождения точек пересечения подставим (2) в (3):
Найдем дискриминант квадратного уравнения, решая его относительно 
:
Прямая с данным угловым коэффициентом будет иметь одну точку пересечения, т. е. касаться ее, если 
.
Разделим уравнение на 4:
Разделим на 
Решим квадратное уравнение относительно 
:
, т. к. точки 
лежат вне области ограниченной эллипсом
Обозначим 
выражение в скобках:
Если касательные перпендикулярны, то 
В общем случае:
(4)
Подставим обозначение 
в (4) и опустим нулики:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(5)
Рассмотрим особый случай при 
Уравнение (5) примет вид:
В результате получаем сдвоенную окружность.
Итак, мы получили уравнение (5) кривой 4-го порядка. Найдем функцию в явном виде и построим ее график.
Заключение
В работе мы обобщили понятие ортооптической окружности. Получено уравнение альфаоптической окружности. По заданным значениям параметров построены графики 
-оптических кривых, которые имеют два разных вида. Это уравнение зависит от угла, под которым мы смотрим на эллипс.
