Формализм «магнетосечений» центров при резонансном рассеяний носителей заряда в невырожденных полупроводниках (стр. 2 )

Длина свободного пробега, связанного с резонансным рассеянием, равна

,

где концентрация рассеивающих центров, сечение рассеяния [1], энергия связи центра (резонансный уровень). Простые расчеты показывают, что ()  порядка мэВ [2]. Полагая, к примеру () находим, что на два порядка превышает уже при комнатных температурах (см. приложение 1.1).

Таким образом, есть основание полагать, что при низких температурах влияние резонанс - ного рассеяния может стать более существенным, чем рассеяние на акустических фононах. 

Предполагая независимость обоих механизмов рассеяния, имеем

,  ,  (1)

где  и 

Удельная электропроводность в случае, когда носители подчиняются классической статис - тике 1 (невырожденный газ невзаимодействующих между собой электронов), равна

,  (2)

где концентрация носителей в зоне проводимости: .

Взяв квадратуру с учетом (1), находим

,  (3)

где , а .

Пользуясь разложением в ряд и асимптотическим выражением для можно показать, что [10]

  (),  (4)

  ().  (5)

  Для того чтобы исследовать поведение проводимости и подвижности при раз - личных температурах, необходимо, строго говоря, учесть зависимость числа нейтральных ато - мов примеси от температуры. Если быть последовательным, то при этом надо было бы учиты - вать рассеяние на ионах примеси. Однако в большинстве полупроводников (кроме может быть Ge [2])  энергия диссоциации доноров такова, что число ионов примеси при низких тем - пературах столь мало, что они не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на длину сво - бодного пробега носителей заряда, так что в актуальном диапазоне температур мож - но положить полной концентрации примесных центров.

При (т. е.) или высоких температурах , из (3) и (5) получим обыч - ный результат: [11, стр. 83]. При очень низких температурах (), в пределах актуального интервала , из (3) и (4) получим (дополнительно см. приложение 1.2)

  (6)

т. е. и .

Из рис.1 видно, что теоретическая кривая качественно верно передает ход эксперименталь - ных точек в окрестности . Относительно слабый спад подвижности указывает на наличие резонансного рассеяния. 

Качественное соответствие с данными эксперимента позволяют рассматривать центры как уровни, «контролирующие» подвижность носителей заряда. В этом смысле формулы  (6) наиболее приспособлены к применению в случае полупроводников Si, Ge, AIIIBV [2].

Заметим, что разложения (4) и (5) не охватывают (теоретически) промежуточную область , где рассеяние на заряженных (и других) центрах может быть существенным [13]. 

2.  Теплопроводность и термоэлектродвижущая сила

В соответствии с вышеизложенным мы приходим к выводу о том, что и процессы переноса тепла носителями также должны контролироваться центрами. Однако это предположение тре - бует соответствующего математического обоснования.

Для расчета электронной теплопроводности воспользуемся известной формулой

,  (7)

где коэффициенты, которые в классическом пределе определяются через интеграл: 

.  (8)

Здесь эффективное время релаксации по импульсу, которое при квадратичном законе дисперсии определяется по формуле 

.  (9)

Подставляя в (7) с учетом формул (1) и (9), получим

,  .  (10)

Интегралы выражаются через функцию:

Аккуратный расчет на основе разложения (4) приводит в этом случае к формуле

  .  (11)

Видно, что электронная теплопроводность при наличии резонансного рассеяния, как и электропроводность, пропорциональная и что вполне естественно в области примесной проводимости: . В отличие от вырожденных носителей в данном слу - чае число Лоренца не отклоняется сколько-либо заметно от универсальных постоянных. Это связано с тем, что резонансное рассеяние в вырожденных полупроводниках имеет ярко выра - женный селективный характер: интенсивно рассеиваются только те носители (дырки), энергии которых лежат в пределах тонкого слоя . Это и проявляется на поведении в виде харак - терных максимумов [4]. Напротив, в невырожденных резонансное рассеяние изотропно: рас - сеиваются все носители с энергиями 2. Сильное резонансное рассеяние носителей вблизи уровня Ферми в пределах слоя размытия и вследствие этого резкая зависимость от энергии усложняет вычисление кинетических коэффициентов. Выбор параметров () необходимых для расчета , осуществляется только на основе текущих экспериментальных данных [8]! Привлекает получение аналитической формулы для. Трудность получения анали - тической формулы заключается в том, что функцию нельзя разлагать в ряд Тейлора в окрестности уровня Ферми . При невырожденных носителях подобное разложение было бы допустимо, и мы получили бы в принципе формулу (9) (так поступают, например, в теории колебаний, когда хотят получить формулу для периода малых колебаний механических систем, ограничиваясь квадратичным членом). Математическое требование сводится к тому,  чтобы соблюдалась квадратичность спектра, тогда как формула Брейта-Вигнера для - ширины при - месной полосы не предполагает квадратичности.