Учебная программа для посупающих в магистратуру по специальности 1-31 80 03 Математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

ДЛЯ ПОСУПАЮЩИХ В МАГИСТРАТУРУ

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 1-31 80 03  МАТЕМАТИКА

Гродно  2008

АВТОРЫ: 

МИНЮК С. А., доктор физ.-мат. наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и оптимального управления Гродненского государственного университета имени Янки Купалы

ВУВУНИКЯН Ю. М., кандидат физ.-мат. наук, профессор кафедры теории функций, функционального анализа, вероятностей и прикладной математики

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

- член-корреспондент НАН Беларуси, заведующий кафедрой функционального анализа БГУ, доктор физ.-мат. наук, профессор

  - кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры ДУ и ОУ  ГрГУ.

Рекомендована к утверждению решением учебно-методической комиссии  по специальности математика_

Протокол № _3_  от  «_18_»  _03_  2008 г.                

Рекомендована к утверждению Советом  факультета ________________________

Протокол № 8__  от  «19»  _марта__  2008 г.                

       

Рекомендована к утверждению Советом университета

Протокол № _____  от  «__»  _______ 2008 г.                

               

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

От экзаменующихся требуется знание и свободное владение материалом, предусмотренным настоящей программой, и изложение представленного реферата.

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел 1.  Математический анализ

Действительные числа. Предел последовательности и функции. Непрерывные функции. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых  функций. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Предел и непрерывность функций многих переменных Интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница. Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды и ряды Тейлора. Функциональные ряды. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функции многих переменных. Кратный интеграл Римана. Поверхностные интегралы. Тригонометрический ряд Фурье. Интеграл и преобразование Фурье.

Раздел 2. Теория меры и интеграла Лебега

Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Лебегово продолжение меры. Измеримые функции. Интеграл Лебега. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини.

Раздел 3. Теория функций комплексного переменного

Комплексные числа и комплексная плоскость. Дифференцируемость и аналитичность функции. Условия Эйлера-Даламбера. Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Теоремы о единственности для аналитической функции. Принцип максимума модуля для аналитической функции. Конформные отображения. Теорема Римана. Аналитическое продолжение.

Раздел 4. Функциональный анализ

Метрические пространства. Полные метрические пространства. Принцип сжимающихся отображений. Компактность в метрических пространствах. Нормированные векторные пространства. Банаховы пространства Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах. Теоремы об открытом отображении и о замкнутом графике. Принцип равномерной ограниченности. Компактные операторы. Теорема Хана-Банаха. Сопряжённые пространства и сопряженные операторы. Гильбертово пространство. Ортонормированные системы. Самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Топологические векторные пространства. Обобщенные функции и действия над ними.

Раздел 5. Общая теория обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения первого порядка. Некоторые элементарные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной. Теорема существования и единственности для одного уравнения. Теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений. Непродолжимые решения. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и параметров. Дифференцируемость решений по начальным значениям и параметрам. Первые интегралы.

Раздел 6.  Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней). Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней). Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Метод исключения. Нормальная линейная однородная система дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами.

Раздел 7.  Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами.

Раздел 8.  Устойчивость и  управляемость

Устойчивость. Критерии устойчивости стационарных линейных систем. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы Четаева и Барбашина-Красовского. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные системы управления. Критерий управляемости линейных стационарных систем. Управляемость линейных нестационарных систем с гладкими параметрами, управляемость линейных нестационарных систем с периодическими коэффициентами. Наблюдаемость. Условия наблюдаемости линейных систем.

ПЕРЕЧЕНЬ

ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ

РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

. Математический анализ. В 2-х частях. М., Наука, Ч.1 – 1981 г.,  Ч.2 – 1984 г. . Курс математического анализа. В 2-х томах. М., Высшая школа, 1981. . Теория функций вещественной переменной. М., Наука, 1974. , . Краткий курс функционального анализа. М., Высшая школа, 1982. , . Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1972. . Теория операторов. М., Изд. МГУ, 1986. . Теория аналитических функций. В 2-х частях. М., Наука. Т. 1 – 1967, Т.2 – 1968. . Введение в теорию функций комплексного переменного. М., Наука. 1977. Бярозкіна Н. С., Мінюк і інтэгральныя ўраўненні. Вуч. дапаможнік для студ. Фіз.-мат. і тэхн. спец. выш. навуч. устаноў. У 2 т. – Гродна: ГрДУ, 2000. Голубев по аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 436 с. Демидович по математической теории устойчивости. – М.:Наука, 1967. - 472 с. Зубов по теории управления. - М.: Наука, 1975. - 456 с. , , Сендов анализ: Нач. курс: Уч. Для ВУЗов по спец. «Математика», «Прикл. Математика»: в 3 т.− М.: Изд-во МГУ, 1985. , , Сендов анализ: Прололж. курса: Уч. для студентов ВУЗов − М.: Изд-во МГУ, 1987. Кудрявцев анализ. Т.1,2-М.:Высш. шк., 1973. Петровский об уравнениях с частными производными. − М.: Физматгиз, 1961. Плисс проблемы теории колебаний. – М.: Наука, 1964. - 412 с. Понтрягин дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974. Рейссиг, Г. Сансон, Р. Конти. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. − М.: Наука, 1974. - 318 с.