Задание 1. Прямая линия на плоскости . . Задание 1. Прямая линия на плоскости (стр. 2 )

  Рисунок 2 - Элипс

  2) 9x2-4y2-54x-8y+41 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.

Выделим полные квадраты при х и у:

9(х2-6х+9)-81-4(у2+2у+1)+4+41 = 0 , 9(х-3)2-4(у+1)2-36 = 0,

9(х-3)2─ 4(у+1)2 = 36 ,  

Получили  каноническое уравнение гиперболы вида:

  .  (8) 

Центр гиперболы лежит в точке А(б, в), оси параллельны осям координат. Центр данной гиперболы лежит в точке А(3,-1), =2, =3. Построим основной прямоугольник гиперболы, откладывая от точки А отрезки =2, =3  в направлениях, параллельных основным осям координат. BB/=2∙=4, СС/=2∙=6. Диагонали прямоугольника будут являться  асимптотами. Вершины гиперболы – точки B и B/  (рисунок 3).

  Рисунок 3 - Гипербола

Задание 3. Системы линейных уравнений

1) Решить систему линейных уравнений матричным способом.

2) Найти базисное решение  системы  уравнений методом Жордана-Гаусса.

Таблица 4 – Данные задания 3 « Системы линейных уравнений»

№	Системы уравнений
2	1)   2)

Пример 3

1)  Решить систему уравнений матричным способом.

Решение. Обозначим X =  − матрица-столбец неизвестных переменных;

− матрица коэффициентов при неизвестных или основная матрица;

− матрица свободных членов системы уравнений.

Систему уравнений можно представить в матрич­ном виде  А ∙ X = А0. 

Тогда решение системы имеет вид:

  Х = А-1 ∙ А0,  (9) 

где А-1 – обратная матрица к квадратной матрице А =.

Формула для вычисления обратной матрицы

  А--1=.  (10) 

– определитель матрицы А, который вычисляется по формуле

Вычислим определитель матрицы системы:

  Т. к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная, для неё существует обратная матрица A-1.

Вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента основной матрицы по формуле , где – минор того же элемента .

Минор элемента – это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца.

 

       

Таким образом, по формуле (10) имеем следующую обратную матрицу:

Согласно формуле  (9), получаем:

Проверка:

Подставим найденные числа вместо переменных в исходную систему уравнений:

Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: .

Приведение системы линейных уравнений к системе с базисом методом Жордана-Гаусса

Система уравнений называется системой с базисом, если каждое уравнение системы содержит переменную с коэффициентом 1, отсутствующую в других уравнениях.

Например, рассмотрим систему уравнений с базизом:

Переменные – базисные, – свободные. Базисное решение .

Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Составляем таблицу Жордана-Гаусса. Выбираем разрешающий элемент из коэффициентов при неизвестных, i-я строка и j-й столбец будут называться разрешающими. Элементы  i-й  разрешающей строки делят на разрешающий элемент и полученные частные записывают в  i-ю строку следующей таблицы. Все элементы j-го столбца следующей таблицы обращаются в 0, кроме элемента, стоящего на месте разрешающего, он равен 1. Все остальные элементы следующей таблицы вычисляются по “правилу прямоугольников”:

    .  (11) 

2) Найти базисное решение  системы  уравнений:

Составим таблицу Жордана–Гаусса.

Столбец содержит свободные члены соответствующих уравнений, столбцы содержат коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях. В столбец “Б” будем записывать базисные переменные соответствующих уравнений. 

Б
1 2 0	2 -1 3	-1 0 -2	-1 1 -1	-2 2 -2	2 -1 -1	таблица 1
	3 2 2	1 -1 2	-1 0 -2	0 1 0	0 2 0	1 -1 -2	таблица 2
	3 5 8	1 0 4	-1 -1 0	0 1 0	0 2 0	1 0 0	таблица 3
	1 5 2	0 0 1	-1 -1 0	0 1 0	0 2 0	1 0 0	таблица 4

1. Выбираем  в таблице 1 разрешающий элемент, любой  из коэффициентов,  не равный нулю, например  .