Задание 1. Прямая линия на плоскости . . Задание 1. Прямая линия на плоскости (стр. 3 )

2. Элементы разрешающей строки делим на 1 и записываем полученные значения во второй строке таблицы 2.

3. В разрешающем столбце таблицы 2 остальные элементы обращаются в ноль. Во втором  уравнении неизвестная становится базисной.

4. Оставшиеся элементы таблицы 2 находим  по правилу прямоугольника.

Приведем расчёты некоторых из них:

, , ,

, , .

5. Повторяя алгоритм метода Жордана–Гаусса, перейдем  к  таблице 4. Полученная система уравнений является системой с базисом.  Базисные переменные – ,,, свободные ─ ,.

Чтобы записать базисное решение,  базисные переменные приравниваем к соответствующим свободным членам, свободные переменные ─ к нулю.  Полученное базисное решение  имеет вид.

Задание 4. Действия над векторами

Даны длины двух векторов и известен угол между ними .

Требуется найти:

1) длину  соответствующего вектора в задачах: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19;

2) скалярное произведение в задачах: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20;

3) скалярный квадрат в задачах: 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Таблица 2  –  Данные задания 4  «Действия над векторами»

			Найти
7	5	3

Пример 4

Найти длину вектора , если известно, что

Решение:

Задание 5. Координаты вектора в новом базисе 

Показать, что система векторов , ,   образует базис,  разложить  вектор по этому базису. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера.  Координаты векторов даны в таблице 6.

Таблица 6 – Данные задания 5  «Координаты вектора в новом базисе»

№
11	(2,2,1)	(-3,4,-2)	(2,-5,-3)	(3,-4,-7)

Пример 5

Показать,  что система векторов ,  , образует базис, найти разложение  в этом базисе.

Решение: Покажем, что векторы , ,   образуют базис. Найдём определитель, составленный из координат этих векторов.

Т. к. определитель не равен нулю,  следовательно, векторы линейно независимы и образуют базис. 

Разложим вектор   по векторам данного базиса: , здесь  , , −  искомые координаты вектора в базисе , , . В координатной форме это уравнение (1, 1, 2) + (5, 3, -1) + (2, 3, 1) = (5, 2, 2) принимает вид:

Решим приведённую систему по формулам Крамера ; для этого вычислим дополнительные определители полученные из основного определителя  Д  заменой –го столбца столбцом свободных членов:

;  .

Таким образом, находим коэффициенты разложения вектора :

Задание 6.  Решение задач линейного программирования симплексным методом

  Затраты трёх видов сырья  А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции заданы векторами –,  ,  .  Запасы каждого вида сырья заданы вектором ,  прибыль от реализации единицы продукции каждого типа − вектором . Определить оптимальный  план выпуска продукции, при котором прибыль от реализации выпущенной продукции будет максимальной. Составить математическую модель зада­чи, решить задачу  симплексным методом. Составить двойственную задачу к данной и найти её решение.

Таблица 7 – Данные задания 6 «Симплексный метод решения задач»

№
11	(2, 2, 4)	(1, 1, 5)	(3, 5, 1)	(150, 190, 230)	(2, 3, 4)

Пример 6.  Составим математическую модель.