Задание 1. Прямая линия на плоскости . . Задание 1. Прямая линия на плоскости (стр. 1 )

Даны вершины треугольника ABC.

Найти:

1) длину стороны ВС;

2) уравнения сторон АВ и ВС;

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты из вершины CD и её длину;

5) уравнение медианы, проведённой из вершины А;

6) записать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС. 

Таблица 1  – Данные задания 1 « Прямая линия на плоскости»

№
7	(1; 0)	(13; -9)	(17;13)

  Пример 1  Даны вершины треугольника ABC (рисунок 1): 

А(-4,8), В(5,-4), С(10, 6).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков

4) уравнение высоты СD и её длину;

5) уравнение медианы, проведённой из вершины А;

6) записать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

Решение: 

Рисунок 1 - Треугольник

1) Расстояние d между точками   и определя­ется по формуле

                  (1)

Подставим в формулу (1)  координаты точек А и В, получим 

  .

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид 

  .  (2)

Подставив в  формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

  (АВ).

Для нахождения углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное  уравнение относительно у:  . Отсюда .

Аналогично найдем уравнение прямой ВС.  ─ уравнение ВС в общем виде,  или ─ уравнение ВС с угловым коэффициентом.  Угловой коэффициент прямой ВС .

3) Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и , вычисляется по формуле

  .  (3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты найдены: ; . Применяя формулу (3), получим

  ;

, или рад.

4) Найдём уравнение высоты СD и её длину.

Высота СD  перпендикулярна АВ,  чтобы найти угловой коэффициент высоты СD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых.  Угловой коэффициент будет равен ,  .

Искомая высота проходит через точку С(10,6). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:

  .          (4)

, (СD).

Найдём длину высоты .

Воспользуемся формулой расстояния от точки D до прямой :

  .  (5)

Длина высоты CD  равна расстоянию от точки до прямой 

5) Обозначим основание искомой медианы через М.

По определению медианы, М делит сторону ВС пополам. Координаты точки М най­дём по формуле

    (6)

  . 

Чтобы записать уравнение медианы AM, воспользуемся форму­лой (2). ,  ,  , (АМ).

6)  Найдём уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

Обозначим искомую прямую СР. Прямые АВ и СР параллельны, по условию параллельности прямых . Угловой коэффициент , ,  т. к. искомая прямая проходит через точку С(10,6), воспользуемся уравнением (4)

  , ,   (СP).

Задание 2. Линии второго порядка

Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

Таблица 3 – Данные задания 2  «Линии второго порядка»

Задача  №	Уравнения кривых
5	а
б

Пример 2. Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0; 9x2-4y2-54x-8y+41 = 0.

Решение:

х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0.  Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.

Выделим полные квадраты при х и у:

(х2-4х+4)-4+4(у2+4у+4)-16-16=0 ,  (х-2)2+4(у+2)2-36=0,  (х-2)2+4(у+2)2=36, .

Получили каноническое уравнение эллипса вида: 

  .  (7) 

Центр эллипса лежит в точке O/(б, в), оси параллельны осям координат ОХ и OY. Точка O/(2,-2) – центр данного эллипса.  Отложим от  точки  O/ отрезки в направлениях,  парал­лельных ОХ и OY,  CС/=2=12  ВВ/=2=6 (рисунок 2).