государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная школа
«Образовательный центр»
с. Старая Шентала муниципального района Шенталинский Самарской области
Окружная научно - практическая конференция
исследовательских работ учащихся
Секция «Математика»
«Знакомые незнакомцы»
Автор: ученик 5 класса
ГБОУ Старошенталинская СОШ
«Образовательный центр»
Долгов Артём
Руководитель: учитель математики
Старая Шентала, 2014
Содержание
1. Введение
2. Теоретическая часть
2.1. История возникновения геометрических понятий
“круг” и “окружность”
2.2. Что такое круг и окружность
2.3. Элементы круга и окружности
2.4. Как построить круг, окружность
3.Практическая часть
3.1. Подготовка к эксперименту
3.2. Ход эксперимента
3.3. Результаты измерений и вычислений
3.4. Выводы по эксперименту
3.5. Число 
4. Круг, окружность в нашей жизни
5. Выводы по исследованию
6. Перспектива исследования
7. Приложение. Игра «Волшебный круг»
8. Список литературы
9. Приложение
1. Введение
На уроках математики мы изучали, как измерить длину отрезка. Основным измерительным инструментом является линейка. А как измерить длину окружности? Линейкой не получится, окружность – кривая линия! Может верёвкой? Однажды я видел, как лесник верёвкой измерял длину окружности ствола дерева. Но этот способ вряд ли удобен в разных случаях.
В отличие от произвольных фигур, все окружности удивительным образом похожи друг на друга. Каждая окружность является просто копией любой другой окружности. Это простое наблюдение привело меня к следующей идее: нет ли определённой зависимости между размером окружности, который задаётся радиусом, и её длиной. Окружность, круг – такие знакомые геометрические фигуры! Оказывается, о них я мало знаю!
За ответом я обратился к учителю математики и получил предложение задать этот вопрос одноклассникам и ученикам 6 класса, провести самостоятельно практическую работу, а затем написать исследовательскую работу.
Актуальность исследования. Как зависит длина окружности от длины её радиуса? Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 2 раза? Такие вопросы был заданы при опросе. Всего было опрошено 12 учеников. Как показывает опрос, у пяти и шестиклассников представление о длине окружности не всегда верное. Они, как и я думали, что про окружность уже всё узнали в начальной школе. Большинство опрошенных учеников считают, что при увеличении радиуса в 2 раза длина окружности также увеличивается, но только небольшая часть (3 ученика) уточняет, что именно в 2 раза. 4 ученика отвечают, что длина увеличится в 4 раза.
Чтобы выяснить, кто из них прав, я решил опытным путем получить зависимость между длиной окружности и её радиусом, вывести формулы длины окружности.
Результаты своих измерений, вычислений изложил в своей работе
«Знакомые незнакомцы».
Объект исследования: окружность, круг.
Предмет исследования: длина окружности, круга.
Цель работы: установить связь, числовую зависимость длины окружности от её радиуса.
А есть ли связь двух этих величин?
Чтоб сомневаться не было причин,
Эксперимент – проверку проведём
И на любой вопрос ответ найдём!
Задачи исследования:
-познакомиться с некоторыми фактами из истории геометрии про геометрические фигуры круг и окружность;
-повторить элементы окружности и круга;
-провести практическую работу по определению длины окружности;
-установить зависимость между измерениями;
-оформить результаты, сделать соответствующие выводы.
Гипотеза: Между длиной окружности и её радиусом есть зависимость. Частное между длиной окружности и радиусом есть число постоянное.
Практическая значимость.
Вывод, полученный в ходе практической работы и записанный в виде формулы, поможет быстро и точно решать практические задачи из реальной жизни. Материал работы может заинтересовать тех, кто увлекается математикой и желает расширить свой кругозор.
Новизна исследования: результат зависимости между длиной окружности и её радиусом получен лабораторно-практическим путём, что ранее ученики 5 класса не делали.
Методы исследования:
-поисковый
-эксперимент
- аналитический
-сравнение и обобщение
2. Теоретическая часть
2.1 История возникновения геометрических понятий “круг” и “окружность”.
Круг и окружность – одни из самых древнейших геометрических фигур, философы древности придавали им большое значение. Круг – воплощение нескончаемого Времени и Пространства. «Из всех фигур прекраснейшая – круг», – считал Пифагор.
Вокруг нас много круглых предметов: колесо машины, диск луны, спортивный обруч, посуда и т. д.
Почему так много тел имеют круглую форму? Можно ли вообще представить жизнь человека без использования круга? Чтобы найти ответы на все эти вопросы, в первую очередь, необходимо рассмотреть историю возникновения этих понятий.
Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т. д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, похожие на шар. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «Такой же, как кокосовый орех” или “такой же, как соль” и т. д.
Круглые тела еще в древности заинтересовали человека. В Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки, которые катились уже легче и с их помощью перетаскивали грузы. Так появилось первое колесо.
Не только в процессе работы люди знакомились с различными фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище. И многие, созданные давным-давно украшения, имели ту или иную форму. Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе, золоту, серебру, драгоценным камням. Художники, расписывавшие дворцы, тоже использовали окружность. Со времени изобретения гончарного круга люди научились делать круглую посуду – горшки, вазы. Круглыми были и колонны, подпирающие здания.
Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими фигурами.
Но математические знания разных народов были разрозненны и представляли собой свод правил, проверенных практикой. В Древней Греции все знания привели в систему, геометрия стала бурно развиваться как наука. «Окружность» и «круг» получили свои названия, почти все названия геометрических фигур греческого происхождения, как и само слово геометрия (“гео” – земля, а “метрио” – мерить). Греческий учёный Евклид в своей книге «Начала» сформулировал и доказал свойства многих геометрических фигур, в том числе круга и окружности. В течение многих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которой изучали геометрию. «В каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе». Это свойство окружности стало толчком к возникновению колеса.
2.2 Что такое круг и окружность
Окружностью называется геометрическая фигура, каждая точка которой равноудалена от одной точки-центра окружности.
Окружность – это замкнутая линия, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом
2.3 Элементы круга и окружности.
Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой (по-латыни – спица колеса).
Радиусов у окружности много и они равны между собой
ОА=ОМ=r.
Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр (с греческого – “поперечник”).
Отрезки АО = ОК= r. Поэтому, d=2r
Хорда окружности – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности (с греческого– “струна”).
Можно дать другое определение диаметра окружности.
Диаметр окружности – это хорда, проходящая через центр окружности.
Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками.
2.4 Как построить круг, окружность.
Есть разные способы построения круга, окружности.
1 способ построения – на листе бумаги в клеточку с помощью карандаша. Для этого отметим начало будущей окружности - точку А. Для построения первой четверти окружности продвинемся из точки А на три клетки вправо и на одну вниз, поставим точку В. Из точки В - на одну клетку вправо и одну вниз и отметим точку С. И из точки С - на одну клетку вправо и три вниз в точку D. Четверть окружности готова.
Теперь для удобства можно развернуть лист против часовой стрелки так, чтобы точка D оказалась вверху, и по тому же алгоритму (три – один, один – один, один – три )достроить оставшиеся 3/4 окружности.
2 способ построения при помощи специального инструмента - циркуля (от лат. "circulus" - круг, окружность).
Для такого построения нужно отметить центр будущей окружности - например, пересечением 2х штрихпунктирных линий под прямым углом, и выставить шаг циркуля, равный радиусу будущей окружности. Далее установите ножку циркуля в отмеченный центр и, поворачивая ножку с грифелем вокруг него, провести окружность.
Мой циркач, циркач лихой
Чертит круг одной ногой,
А другой проткнул бумагу,
Уцепился и ни шагу!
Точка О – центр круга, окружности.
3 способ построения – с помощью верёвки.
Он используется если нам нужно построить окружность большего размера, чем позволяет тетрадный лист и шаг циркуля - например, для игры? Тогда нам потребуется веревочка длины, равной радиусу желаемой окружности, и 2 колышка. Колышки привяжем к концам веревки. Один из них воткните в землю, а другим при натянутой веревке начертим окружность.
Вполне возможно, что одним из этих способов построения окружности воспользовался и изобретатель колеса - по сей день одного из самых гениальных изобретений человечества.
3.Практическая часть
3.1. Подготовка к эксперименту
Приготовили необходимые инструменты: линейка, карандаш.
Отобрали материалы: нить, кружка, тарелка, бокал – предметы домашнего обихода, имеющие по краю форму окружности.
3. 2 Ход эксперимента
- нитью определили длину окружности каждого предмета;
- затем каждый предмет к листу бумаги и обводили карандашом;
- получили окружности
- окружности вырезали
свернули два раза пополам; линия сгиба – это диаметр, измерили его с помощью линейки; центр окружности – точка пересечения линий сгиба или диаметров;
- вычислили радиус; нашли отношение длины окружности к её радиусу.
Подсказка учителя: диаметр окружности можно найти с помощью вписанного прямоугольного треугольника.
3.3 Результаты измерений и вычислений
Предметы | Длина окружности | Диаметр | радиус | Отношение С:d | Отношение С:r |
Стакан | 22 см=220мм | 7 см | 35мм | 3 ост. 1 | 6 ост.10 |
Тарелка | 46см=460мм | 14см2мм 142мм | 7см1мм 71мм | 3ост.34 | 6 ост.34 |
Бокал | 285мм | 94мм | 47 мм | 3,06 | 6,123 |
Баночка | 31 см | 10 см | 5 см | 3,1 | 6,2 |
Кастрюля | 69 см | 22 см | 11 см | 3, 1 | 6,2 |
3.4 Выводы по эксперименту
- Во всех экспериментах отношение длины окружности к диаметру близко к числу 3; Наши результаты подтверждают, частное между длиной окружности и радиусом есть число постоянное, равное 6; Длина окружности примерно в 3 раза больше диаметра; По учебнику – это число называется «Пи». Обозначается
. Длина окружности и радиус связаны соотношением: С= 2
r С – длина окружности
r - радиус окружности
3.5 Число 
.
Обозначение числа 
происходит от первой буквы
греческого слова периферия, что означает "окружность".
История числа 
достойна восхищения. Многие математики затратили на его вычисление не один десяток лет.
В Древнем Египте считали р=3,16, а древние римляне полагали, что р=3,12. Все эти величины были установлены опытным путём, а в 3 в. до н. э. великий учёный Древней Греции Архимед определил без измерений одними рассуждениями вычислил точное значение числа р=22/7, в дальнейшем получило название число Архимеда.
Многие математики занимались изучением числа р, но общепринятым это обозначение стало благодаря работам великого математика Эйлера. Он вычислил для числа р сто пятьдесят три десятичных знака.
Сейчас с помощью компьютера число р можно вычислить с точностью до миллиона знаков, но для обычных вычислений с числом р вполне достаточно запомнить три первые цифры числа р≈3,14…
А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:
Нужно только постараться,
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Для закрепления в памяти рационального выражения числа Архимеда р=22/7 может оказаться полезным шуточное стихотворение:
22 совы скучали,
На семи сухих ветвях.
22 совы мечтали,
О семи больших мышах.
Одна из загадок числа р состоит в том, что оно не может быть выражено какой – либо точной дробью. Оно изучается и в наши дни.
Пока рекорд принадлежит японскому математику, в 2004 году – Ясума Канада из Токио рассчитал число р на компьютере до 1,24 триллиона знаков.
р -3,141 592 653 589 793 238 462 643 383279 502 884197 169 399 375 105 ….
Зачем нужно р, да еще с такой точностью? Число р чрезвычайно важно для ученых и инженеров. Все, что круглое и все, что движется по кругу (как колеса или планеты), содержит р. Без р люди не могли создать автомобили, понять движение планет или сосчитать сколько гороха поместится в консервную банку. Но загадка таинственного числа не разрешена вплоть до сегодняшнего дня, и поэтому, по-прежнему, волнует ученых. В настоящее время с числом р связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Все это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической постоянной величине, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.
- В календаре есть дата, связанная с числом р. Это 22 июля - «День приближённого числа Пи», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа р.
- Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3/14, что соответствует приближённому значению числа р. В мире есть памятник числу «Пи». Он установлен в Сиэтле на ступенях перед зданием музея искусств.
Школьники на уроках математики работают с приближённым значением числа 
= 3,14
4. Круг, окружность в нашей жизни
Изучив научную литературу, мы сделали вывод, что с незапамятных времен люди используют в своей жизни круг.
1. Около 3300 года до нашей эры стали применять гончарный круг, делать круглую посуду – тарелки, вазы, кастрюли, горшки, сковородки. У посуды есть окружность (верхний край) и круг (дно).
2. Мы не можем представить свою жизнь без машин: автобус, трактор, велосипед, стиральная машинка, самолет, вездеход, луноход, различные станки, подъемный кран…Они не похожи друг на друга, но присмотримся к ним повнимательнее. Есть у них у всех похожие части – детали, и одна из них – колесо. Сначала колеса были круглые и гладкие, чтобы по земле легко катились, а потом человек придумал много разных колес. Зубчатые колеса спрятаны внутри многих машин, одно колесо заставляет вращаться другое, колеса с желобком – блоки, помогающие поднимать тяжелые грузы. Машины из века в век совершенствовались и совершенствуются, но неизменным остается использование в них колеса, как основной детали.
3. Круг и окружность широко применяются в архитектуре и искусстве: круглые арки, своды, купола. Круг – это форма кочевых шатров и поселений.
4. Круга применяется в математике: круговые диаграммы и т. д. Многие приборы имеют круглую шкалу, в математике таким прибором является транспортир.
5. Знания о круге и окружности позволяют человеку решать многие практические задачи в повседневной жизни: разбить клумбу или фонтан, сделать круглую крышу, окно или крышку, сшить головной убор, связать салфетку, сделать елочную игрушку, сделать выкройку платья или юбки, нарисовать узор и т. п.
6. Также человек использует круг, как универсальный символ, означающий целостность. Три концентрических круга символизируют прошлое, настоящее и будущее. Пять олимпийских колес представляют собой союз пяти континентов, т. е. сбор спортсменов со всего мира на Олимпийских играх.
Таким образом, круг в жизни человека имеет очень важную роль, и в жизни без круглых предметов обойтись невозможно.
А какое значение имеет круг в других науках?
Астрономия: круг символизирует солнце.
География: окружность определяет экватор.
Природоведение: круговорот воды в природе.
Биология: у всех клеток есть круглое. ядро
Русский язык: слово “круглый” означает высокую степень чего-либо - “круглый отличник”, от слова « круг» образовано множество различных других слов: круглый, кругленький, кругом, вокруг, окружать, кружить и многое другое. Округлые формы, круглое лицо, кругленькие щеки, круглый год, голова идет кругом, ходить по кругу – часто употребляемые выражения.
История и обществознание: “Круглый стол” – конференции, кругооборот капитала, круг семьи, колесо истории – исторические циклы.
5. Выводы по исследованию
1. Круг в жизни человека имеет очень важную роль, и без использования круглых предметов обойтись невозможно.
Окружность и круг – удивительно гармоничные, совершенные, простые фигуры. Окружность – единственная замкнутая кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра, поэтому колеса делают круглыми, а не квадратными или треугольными.
Круг – это колесо. Колесо – это прогресс – движение вперед. Если остановится колесо, то остановится колесо Истории. Остановятся все виды транспорта, остановятся все часы и механизмы, фабрики и заводы.
Круг – символ цикличности, повторяемости. Все движется по кругу.
2. Самостоятельно провёл ряд экспериментов. В ходе работы, я убедился, что между длиной окружности и её радиусом есть зависимость.
Отношение длины окружности к диаметру есть число постоянное.
Длина окружности примерно в 6 раз больше радиуса и в 3 раза больше диаметра.
3. Зависимость можно записать формулой: С= 2
r; С = 
d
4.Зная формулы, можно сделать вывод по решению проблемной задачи:
«Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 2 раза?»
Пусть r= 3 см, С = 18см;
Если r = 6 см, С = 36 см.
36 : 18 = 2
Вывод: если длину окружности увеличить в 2 раза, длина окружности увеличится тоже в 2 раза.
5. Изучение данного вопроса расширило мое представление о числах, способствовало приобретению некоторых навыков в проведении математических экспериментов в измерениях и вычислениях.
Я думаю, что знания и умения, приобретенные мною в ходе изучения данной темы, пригодятся мне в дальнейшем.
6. Перспектива исследования.
Заниматься экспериментом по установлению зависимости длины окружности от её радиуса мне очень понравилось. У геометрической фигуры – круг можно вычислить и площадь. Зрительно заметно, что при увеличении размеров круга, его площадь увеличивается. Но как? Зависимость площади круга от её радиуса – перспектива дальнейшей работы.
7. Игра «Волшебный круг»
Круг разрезается на 10 частей. В результате получается 4 равных треугольника. Остальные части, попарно равные между собой, сходны с фигурами треугольной формы, но одна из сторон у них имеет закругление.
Из полученных частей можно склеить аппликацию:
8. Список литературы
1. Глейзер математики в школе. М; «Просвещение»,1982.
2. Жуков число р. Журнал «Математика для
школьников», №1; 2. 2004 г.
3. , За страницами учебника математики.
М: Просвещение, 1989.
4. и другие. Учебник-собеседник. 5 класс.
М: Просвещение, 1994.
5., «Путешествие по стране Геометрии».
Екатеринбург, Средне-Уральское книжное издательство, 1994г.
6. Энциклопедический словарь юного математика. Сеть интернет.
http://sernam. ru/book_e_math. php? id=94
