Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2009 – 2010 учебный год

(7 баллов)  Решить уравнение:  .
(7 баллов)  Чему равен угол φ (рис. 1)?

(7 баллов)  Вычисли без калькулятора  . (7 баллов) В прямоугольнике ABCD (рис. 2) площади 1 точки P, Q, R и S – середины его сторон, Т – середина отрезка RS. Какова площадь треугольника PQT?

(7 баллов)  Две шкурки общей стоимостью в 22500 рублей были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%?  (7 баллов)  Известно, что . Найдите корни уравнения . 

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2009 – 2010 учебный год

(7 баллов)  Решить уравнение:  .
(7 баллов)  Чему равен угол φ (рис. 1)?

(7 баллов)  Вычисли без калькулятора  . (7 баллов) В прямоугольнике ABCD (рис. 2) площади 1 точки P, Q, R и S – середины его сторон, Т – середина отрезка RS. Какова площадь треугольника PQT?

(7 баллов)  Две шкурки общей стоимостью в 22500 рублей были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%?  (7 баллов)  Известно, что . Найдите корни уравнения . 

Решения (11 класс):

(7 баллов)  Решить уравнение:  .

Решение.

Т. к. │sin2x│≤ 1  и │cos(x + y)│≤ 1, то тогда

    .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

:  , 

(7 баллов)  Чему равен угол φ (рис. 1)?

Решение. 

∠АСВ = ∠АDВ = 30° (по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу), ∠СEВ = 180° – 70° = 110° (как смежный с ∠СЕD), значит,

∠φ = 180° – 110° – 30° = 40°.

Ответ:  40°.



(7 баллов)  Число   равно …

Решение.

Ответ:  2004.

(7 баллов) В прямоугольнике ABCD (рис. 2) площади 1 точки P, Q, R и S – середины его сторон, Т – середина отрезка RS. Какова площадь треугольника PQT?

Решение.  SPQRS = Ѕ, SPQT = ј. Смотри рисунок.

Ответ:  SPQT = ј.


(7 баллов) Две шкурки общей стоимостью в 22500 рублей были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%? 

Решение.  Пусть руб. – стоимость первой шкурки, тогда руб. – стоимость второй шкурки. После продажи за первую шкурку было получено руб., а за вторую  руб. Согласно условию, составляем уравнение:

,  откуда  руб.,  а  руб.

Ответ:  руб., руб.

(7 баллов)  Известно, что . Найдите корни уравнения . 

Решение. Сделаем замену переменной  . Тогда . Вид функции не зависит от переменной, принятой для обозначения аргумента. Поэтому  . Решение уравнения    дает  .

Ответ:  .