Курсовая работа бесконечные цепные дроби (стр. 3 )

(в случае рационального ).

———————————————————

              

Учитывая то, что при , вследствие чего , переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального сегменты , , … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , …. Но так как принадлежит всем сегментам последовательности, то и совпадает с указанной точкой, так что .

Итак, мы имеем следующий важный результат:

бесконечная последовательность подходящих дробей , которая возникает при разложении иррационального , сходится к , колеблясь около него. Или: иррациональное действительное равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

Сходимость правильных бесконечных цепных дробей

Бесконечная дробь (1) называется сходящейся, если существует предел ее подходящих дробей, т. е. 

.

Величиной бесконечной сходящейся цепной дроби (1) называется предел ее подходящих дробей, т. е. число , такое, что .

Если величина (1) равна , будем записывать это в виде

Конечные и бесконечные цепные дроби объединяют общим понятием цепных дробей, понимая под этим выражение вида , где последовательность целых чисел может быть конечной или бесконечной, причем в случае конечной последовательности последний член .

Теорема 1. Если - элементы цепной дроби (1), то последовательность чисел и , определенная рекуррентными условиями:

       (2)

и начальными условиями:

       (3)

обладает тем свойством, что при всех отношение равно -й подходящей дроби .        (4)

Числителями и знаменателями подходящих дробей (4) к бесконечной цепной дроби (1) называются величины и , определенные условиями (2) и (3).

Теорема 2. При .        (5)

Теорема 3. Числитель и знаменатель любой подходящей дроби к бесконечной цепной дроби (1) – взаимно простые числа.

Теорема 4. При всех .

Теорема 5. При увеличении  номера знаменатели бесконечной цепной дроби, начиная с , монотонно, неограниченно возрастают.

Доказательство. Действительно, поскольку в бесконечной цепной дроби при всех , то

Поскольку все - целые числа, то при каждое по крайней мере на единицу больше предыдущего, т. е. .

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 6. При увеличении числители положительной бесконечной цепной дроби монотонно, неограниченно возрастают.

Теорема 7. Модули расстояний между соседними подходящими дробями монотонно уменьшаются с увеличением номера и стремятся к нулю.

.

Теорема 8. Подходящие дроби с четными и нечетными номерами образуют систему концов вложенных друг в друга интервалов.

Доказательство. Установлено, что четные подходящие дроби образуют возрастающую последовательность, а нечетные подходящие дроби – убывающую последовательность, и при этом любая четная дробь меньше любой нечетной дроби.

Так как все это верно для любого числа подходящих дробей, то

.

Докажем, что рассматриваемые нами цепные дроби с элементами всегда сходятся и, следовательно, имеют определенную величину.

Теорема 9. Любая бесконечная цепная дробь сходится.

Доказательство.

Пусть нам дана произвольная цепная дробь: , где все - целые числа и при всех

В предыдущей теореме было доказано, что подходящие дроби с четными и нечетными номерами являются левыми и правыми концами системы вложенных друг в друга интервалов. Согласно теореме 7 имеем:

,