Курсовая работа бесконечные цепные дроби (стр. 4 )

так что длины интервалов: стремятся к нулю при увеличении .

Согласно теореме математического анализа левые и правые концы такой системы вложенных друг в друга интервалов, длины которых стремится к нулю, имеют общий предел, представляющий собой некоторое действительное число , такое, что

.

Замечание. Из приведенного доказательства непосредственно видно, что величина бесконечной цепной дроби больше любой нечетной подходящей дроби, так что

       (6)

Для случая, когда цепная дробь конечная, неравенства (6) также верны, однако совпадает с последней подходящей дробью.

Определение. Пусть ; полными частными в разложении будем называть величины , определенными равенствами: при ,

при .

Теорема 10. Пусть - полное частное разложение , тогда

       (7)

       (8)

где - числители и знаменатели s-й и (s-1)-й подходящей дроби к .

Доказательство. Сравнивая выражения

и ,

непосредственно видим, что если в заменить через , то получим .

,        (9)

где не зависят от величины .

Заменяя в (9) через получим, как это только что было отмечено, , т. е.

,

откуда следует и (8).

Замечание. Формулы (7) и (8) верны и при и , если принять .

Действительно,

и .

В дальнейшем, рассматривая величины , при и , будем всегда считать:

.

Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью.

Исходя из результатов, которые мы получили выше, можно утверждать, что для каждого действительного иррационального существует представление в виде бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением является разложение в бесконечную непрерывную дробь, так как предел подходящих дробей последней равен как раз .

Возникает вопрос, сколько представлений действительного иррационального в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще? Покажем, что только одно.

Другими словами: представление действительного иррационального в виде бесконечной непрерывной дроби всегда является разложением с помощью выделения целой части. Докажем это важное утверждение.

Пусть действительное иррациональное представлено бесконечной непрерывной дробью , то есть =. Назовем бесконечную непрерывную дробь остатком данной дроби порядка k. Так как любая бесконечная непрерывная дробь представляет некоторое действительное число, то это утверждение относится также и к остатку . Обозначим его через , =, то есть =. Аналогично =, то есть =.

Из соотношения получаем , то есть = (1).

Так как при , , то все >1, а <1; следовательно, , то есть (2). Но так как , то и, ввиду равенства (1) равно остаточному числу второго порядка для , то есть . Тогда далее , а и так далее. Вообще из следует , а .

Элементы данной бесконечной непрерывной дроби получаются из его значения последовательным выделением целой части, что и требовалось доказать.