Утверждаю

Директор ___________

«___»_________________20____г.

Школьный этап Всероссийской  олимпиады школьников по математике

10 класс

Время выполнения -90минут

Задания

1.Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?

6 баллов

2. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

7 баллов

3. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60°. Доказать, что трапеция равнобедренная.

8 баллов

4. Решить уравнение 

9 баллов

5. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

x2 – xy – 2x + 3y = 11.

10 баллов

Максимальное количество баллов-40

Ответы.

1. 20 коров.

Пусть было на лугу A кг травы и растет она со скоростью x кг в день. Одна корова съедает y кг травы в день, получаем следующую систему:

а необходимо найти такое число z, что 96 ∙ z ∙ y = A + 96x. Используя систему уравнений, получим, что z = 20.

2. Похудел на 2,8%.

3. AC = a + b, где ВС = а; AD = b.

4. x = – 6.

Если ∠BOC = 60°, то ∆BOC, ∆AOD – равносторонние, BD = AC = a + b, ∆ACD = ∆BAD ⇒ AB = CD.

5. x2 – xy – 2x + 3y = 11,

y ∙ (x – 3) = x2 – 2x – 11,

y =  x + 1 + .

возможные варианты для x ∈ N: x = 4; 5; 7; 11, откуда соответствующие значения переменной y = 13; 10; 10; 13.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

значит, (4; 13); (5; 10); (7; 10); (11; 13).

Утверждаю

Директор ___________

«___»_________________20____г.

Школьный этап Всероссийской  олимпиады школьников по математике

11 класс

Время выполнения -90минут

Задания

1. Двое рабочих могут напилить за день 5 поленниц дров, а наколоть 8 поленниц. Сколько поленниц дров они должны напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?

6 баллов

2. На острове всех мужчин женаты и всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

7баллов

3. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит правду; двое – дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а остальные – лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй – что он дипломат, третий – что он лжец, четвертый – что он не правдолюб, пятый – что он не дипломат, а шестой – что он не лжец. Кто из них есть кто?

8 баллов

4. Вычислить, не пользуясь таблицами и микрокалькулятором,

tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ … ∙ tg 89°.

9 баллов

5. Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке F, отрезки AM и CN – в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

10 баллов

Максимальное количество баллов-40

Ответы

1.  3 поленницы дров. Пусть x – количество поленниц, которые рабочие могут напилить и наколоть  в течение дня. Одну поленницу они успевают напилить и наколоть за  часть дня.

Тогда , откуда x = = 3.

2.   .

3 Первый, второй, шестой – лжецы; третий, четвертый – дипломаты; пятый – правдолюб.

4. tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ ... ∙ tg 87° ∙ tg 88° ∙ tg 89° =

= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ tg (90 – 2)° ∙ tg (90 – 1)° =

= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ ctg 2° ∙ ctg 1° = 1.

Использовать тождество tg α ∙ ctg α = 1.

5. 1998.