ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ  МАТЕМАТИКА

Книга 8

Пространства

Часть 2

Векторные пространства

Киев 

«Освіта України»

2016

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К65

Рецензенты:

- к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный технический университет „КПІ”);

- д-р физ.-мат. наук, проф., - к-т техн. наук, проф. (Киевский университет экономики, туризма и права);

- д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет).

 

К213 Дискретно-непрерывная математика. (Пространства). — В 12-и кн. Кн.8. ч.2.— К.:Освіта  України. 2016.—480 с.

  ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)

  ISBN 978-966-373-694-6 (книга 8. ч.2)

Многотомная работа  содержит систематическое  изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем.

В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

  Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов всех специальностей.

  УДК 51 (075.8)

  ББК В161.я7

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)  © , 2016

ISBN 978-966-373-694-6 (книга 8. ч.2)  © Освіта України, 2016

Оглавление

1. Начальные сведения об упорядоченных множествах.......................10  1.1. Упорядоченные множества... ...................... ....................................10  1.2. Совершенно упорядоченные множества.........................................15  1.3. Частично упорядоченное множество...................... ........................17  1.4. Вполне упорядоченное множество...................... ...........................18  1.5. Линейно упорядоченное множество...................... .........................21  1.6.  Принцип максимального элемента...................... ..........................22  2. Начальные сведения о группах...................... .....................................26  2.1. Три источника теории групп. ...................... ....................................26  2.2 Определение группы...................... ...................... ............................28  2.3.Преобразования множества...................... ...................... ..................35  2.4. Группа подстановок...................... ...................... ...................... .....41  2.5. Подгруппы...................... ...................... .............................................43  2.6. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп...................... .....................45  2.7. Свойства гомоморфизмов и изоморфизмов групп.........................46  2.8. Геометрия данной группы...................... ...................... ...................48  2.9. Геометрические преобразования плоскости...................................49  2.10. Симметрии плоской геометрической фигуры...................... .......53  2.11. Симметрии неограниченных фигур...................... ..........................56  2.12. Симметрия в природе и искусстве...................... ............................58  2.13.Упорядоченная группа...................... ................................................62  2.14. Частично упорядоченная группа...................... .............................64  2.15. Линейно упорядоченная группа...................... ...................... .........65  2.16. Структурно упорядоченная группа...................... ...................... ....67  2.17. Коммутативные группы...................... ...................... ......................70  2.18. Факторгруппы коммутативной группы..........................................73  2.19. Суммы и произведения коммутативных групп..............................75  2.20. Кольцо............... ...................... ...................... ...................................77  2.21. Упорядоченное кольцо...................... ...................... ........................78

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2.22. Понятие поля...................... ...................... ...................... ................81  2.23. Скалярное поле...................... ...................... ...................................81  2.24. Векторное поле  ...................... ...................... ..................................83  2.25. Конечные поля  ...................... ...................... ...................................90  3. Введение в теорию векторных пространств......................................107  3.1. Понятие векторного пространства...................... ...................... .....107  3.2. Системы векторов векторного пространства..................................114  3.3. Основные алгебраические структуры:

векторные (линейные) пространства. ...................... .............................118

3.4. Подпространства...................... ...................... ..................................122

3.5. Функционалы и операторы...................... ......................................132  3.6. Аффинное пространство...................... ...................... ...................142  3.7. Аффинные многообразия...................... ...................... ..................151  3.8. Факторпространства. ...................... ...................... ........................154  3.9.Пересечение и сумма подпространств...................... .....................158  3.10.Корневое подпространство.............................................................161  3.11. Линейная зависимость и независимость.....................................169  3.12. Базис...................... ...................... ...................... ............................175  4. Мерные векторные пространства...................... ...................... ........185  4.1. Конечномерные векторные пространства......................................185

4.2. Бесконечномерные векторные пространства.................................188

4.2.1. Специфика бесконечномерной теории...................... .................188

4.2.2.  Гильбертово пространство...................... ....................................192

4.2.3. Свойства полных пространств...................... ...............................197  4.3. Базисы и размерность произвольных векторных пространств.....199  4.4. Ортогональный (ортонормированный) базис.................................201  5. Линейное отображение...................... ...................... ..........................204  5.1. Общие положения...................... ...................... ................................204  5.2. Свойства линейных отображений...................... .............................211  5.3. Ядро и образ линейного отображения...................... .....................215  5.4. Матрица линейного отображения...................... .............................221  5.5. Канонический вид матрицы линейного отображения...................229  5.6. Аффинное отображение...................... ...................... .....................230 5.7. Почему рассматриваются только линейные отображения?.........232

5.8.  Разложения линейных отображений...................... ........................236  5.9. Действия над линейными отображениями...................... ...............238  5.10. Проекторы...................... ...................... ...................... ..................239  6. Линейный оператор...................... ...................... ...................... .........242  6.1.Основные определения...................... ...................... ........................246  6.2. Матрица оператора……………........................................................253  6.3. Матрица оператора и матрица перехода от базиса к базису.........260  6.4. Инвариантное подпространство...................... ................................264  6.5. Собственное число и собственный вектор.....................................267  6.6. Диагонализуемость матрицы оператора..........................................275  6.7. Диагонализуемость матрицы оператора над  полем вещественных чисел...................... ...................... ........................280

7. Линейные функции...................... ...................... .................................283

7.1. Понятие линейной функции...................... ...................... ...............283  7.2. Векторное сопряженное к конечномерному векторному пространству...................... ...................... ...................... ........................286

7.3. Линейные функции и гиперподпространства.................................287

7.4. Системы лииейиых уравнений...................... ..................................289

7.5. Сублинейные функции...................... ...................... .......................293

7.6. Теоремы  продолжения линейной функции

(алгебраическое изложение) ...................... ...................... .....................296

7.7. Теоремы  продолжения линейной функции 

(геометрическое изложение) ...................... ...................... ....................299

7.8. Дуальные пары векторных пространств...................... ...................304  7.8.1. Понятие дуальной пары.............. ...................... ...........................304  7. 8.2. Аннуляторы…………………………………………………........309

7.8.3.  Биортогональные системы…………………………………........312

8. Выпуклые множества………………………………….......................315

8.1.  Понятие выпуклого множества…………………………………...316

8.2. Выпуклые множества и многогранники.........................................322

8.3. Вершины выпуклого многогранника...............................................328  8.4. Переход от вершины к вершине…………………………………...337  8.5. Переход к новому базису…………………………………………..340  8.6. Выпуклый многогранник ………………………………………….342  8.7. Выпуклая поверхность…………………………………..................345  8.8. Конус………………………………………………………………...352  8.9. Однородный выпуклый конус…………………………………......357  8.10. Касательный конус………………………………… .....................359  8.11. Выпуклая подгруппа………………………………… ..................360  8.12. Окруженные точки………………………………………………..361  8.13. Функционал Минковского…………………………………..........365  8.14. Преднормы и нормы…………………………………....................369  9. L - пространства…………………………………………………….....372  9.1. Основные понятия………………………………….........................372 

9.2. L-отображения…………………………………...............................375

9.3. Конечномерные L-отображения…………………………………..378

9.4. L-структуры, определяемые линейными отображениями.............380

9.5. Замкнутые подпространства L-пространства..................................383

9.6. L-подпространства………………………………….........................385

9.7. Гомоморфизмы L.-пространств…………………………………....386

9.8. Факторпространства L-пространства……………………………...390

9.9. Произведения и суммы L-пространств……………………………391

9.10.  Разложение L - пространства в прямую

сумму его L - подпространств…………………………………...............397

10. Двойственность……………………………………………………..400

10.1. Сопряженное L-пространство…………………………………....400

10.2. Сопряженное L-отображение………….…………………………402 

10.3. Сопряженные к L-подпространству, факторпространству

L-пространства и прямой сумме L-подпространств.............................409

10.4. Сопряженные к произведению и сумме семейства

L-пространств………………………………….....................................412

10.5. Связки гиперплоскостей…………………………………..........416

11. L-пространства над R  и  С………………………………….........420

11.1. Регулярно выпуклые множества……………………………….421

11.2. Поляры………………………………………………………… ..427  11.3. L-ограниченные множества………………………………….....432

11.4. Совершенно выпуклые множества. Теорема

Крейна — Мильмана…………………………………..........................436  Приложение………………………………….........................................444

Литература………………………………………………………………474

1. Начальные сведения об упорядоченных множествах

1.1. Упорядоченные множества

Определение 1. Множество M называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение  a < b ("a предшествует b"), обладающее следующими свойствами: 1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b, a < b, b < a;

2) для любых трех элементов a, b и c из a < b, b < c следует a < c.

Пустое множество считается упорядоченным.

Замечание. Знак = мы всегда понимаем в смысле тождества, совпадения элементов. Запись a = b просто означает, что буквами a и b обозначен один и тот же элемент множества M. Поэтому из свойства 1) следует, что между двумя различными элементами выполняется одно и только одно из двух соотношений a < b или  b < a.

Если a предшествует b, то говорят, что b следует за a и пишут: b > a.

Отношение a > b обладает, как легко проверить, свойствами, аналогичными 1) и 2). Его можно принять за основное, определив тогда через него отношение a < b.

Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения < и >, т. е. вместо a < b писать a > b, и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M', порядок которого называется обратным относительно порядка M. Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок:

..., 3, 2, 1.

Два упорядоченные множества, составленные из одних и тех же элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различными. Поэтому при задании упорядоченного множества через его элементы необходимо указать их порядок. Будем считать, что запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество можно упорядочить различным образом (если оно содержит не менее двух элементов). Так, множество натуральных чисел можно упорядочить обычным образом или в обратном порядке, можно нечетные числа поставить впереди четных или наоборот, располагая те и другие в возрастающем или убывающем порядке. Получим упорядоченные множества

{1, 2, 3, ...}, (1)

{..., 3, 2, 1}, (2)

{1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...}, (3)

{1, 3, 5, ..., 6, 4, 2}, (4)

{..., 5, 3, 1, 2, 4, 6, ...}, (5)

{..., 5, 3, 1, ..., 6, 4, 2}. (6)

Элемент, не имеющий предшествующего, называется первым, а элемент, не имеющий следующего, - последним. Элементы a и b называются соседними, если не существует c, для которого a < c < b или b < c < a. Если a и b - соседние и a < b, то говорят, что a непосредственно предшествует b, а b непосредственно следует за a. Упорядоченное множество (1) имеет первый элемен и не имеет последнего, множество (2), наоборот, имеет последний элемент, но не имеет первого, множество (4) имеет как первый элемент, так и последний, а множество (5) - ни первого элемента, ни последнего, множество (3) содержит два элемента, не имеющих непосредственно предшествующего, множество (6) - два элемента, не имеющих непосредственно следующего. Во всех этих множествах каждый элемент имеет соседний. Множество рациональных чисел, расположенных по возрастанию, не имеет соседних элементов, так как между любыми числами a и b лежит число .

Если a = b или a < b, то пишут: ; если a = b или a > b, то пишут: . Из определения 1 легко вытекает справедливость следующих двух теорем:

Теорема 1. Если и , то a = b.

Теорема 2. Если и , то . Если и , то . При этом, если хотя бы в одном из данных неравенств имеется строгое неравенство, то и в полученном неравенстве будет строгое неравенство.

Определение 2. Два упорядоченных множества A и B называются подобными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов, т. е. такое, что из

и a1 < a2

следует b1 < b2.

Из определения 2 следует, что все множества, содержащие лишь один элемент, подобны и пустое множество подобно лишь самому себе. О подобных множествах говорят, что они имеют один и тот же тип. Отношение подобия обозначается так: .

Отношение подобия обладает следующими тремя свойствами:

1) Рефлексивность:
2) Симметрия: если , то .
3) Транзитивность: если и , то .

Сравнивая определение подобия с определением равномощности, убеждаемся, что первое включает второе, т. е. верна следующая

Теорема 3. Подобные множества равномощны; из следует A ~ B.

Обратное утверждение не верно. Так, множества (1) и (2) равномощны (даже просто равны как неупорядоченные множества), но не подобны, так как множество (1) имеет первый элемент, а множество (2) - не имеет, тогда как при соответствии подобия первому элементу одного множества должен соответствовать первый элемент другого. Тем не менее для конечных множеств теорема, обратная теореме 3, также верна. А именно:

Теорема 4. Если конечные, упорядоченные множества равномощны, то они подобны.

Эта теорема ввиду свойств 1) - 3) подобия является непосредственным следствием приведенной ниже теоремы 7. Для любых множеств в известной мере обратной теореме 3 является следующая теорема:

Теорема 5. Любое множество A, равномощное упорядоченному множеству B, само можно упорядочить, т. е. определить для его элементов отношение порядка, обладающее свойствами 1) и 2), и притом так, что полученное упорядоченное множество подобно B.

Доказательство. Если a1 и a2 - любые элементы множества A, b1 и b2 - соответствующие им, при взаимно однозначном отображении A и B, элементы B, и b1 < b2, то положим a1 < a2. Легко проверить, что определенное как отношение порядка в A обладает свойствами 1) и 2) и, очевидно, A подобно B.

Теорема 6. Любое конечное упорядоченное множество A содержит первый и последний элемент (если только A не пусто).

Доказательство. Пусть A не имеет последнего элемента. Берем любой элемент . Так как он не последний, то существует такой, что a1 < a2; так как a2 - не последний, то существует такой, что a2 < a3. Если элемент an построен, то существует такой, что an < an+1. По индукции элемент an построен для любого n.

Пусть

N' = {a1, a2, a3, ...}

Пусть

N' = {a1, a2, a3, ...}

- множество всех построенных элементов. Очевидно, что из i < k следует по свойству 2) ai < ak, откуда по свойству 1) . Значит, N' равномощно множеству натуральных чисел. Поэтому множество A бесконечно (см. теорему 5), что невозможно. Существование первого элемента доказывается аналогично.

Теорема 7. Любое конечное множество можно упорядочить. Все конечные упорядоченные множества с одним и тем же числом элементов n > 0 подобны отрезку |1, n| натурального ряда и, значит, подобны между собой.

Доказательство. Пустое множество упорядочено по определению. Если - конечное множество, то A ~ |1, n|. Отрезок |1, n|, очевидно, есть упорядоченное множество. По теореме 5 множество A можно упорядочить. Пусть теперь A - любое конечное упорядоченное множество с числом элементов  n > 0. По теореме 6 множество A содержит первый элемент a1. Если n > 1, то множество

и снова содержит первый элемент a2, причем a1 < a2. Пусть уже построен элемент ai. Если i < n, то

и по теореме 6 оно содержит первый элемент ai+1, причем ai < ai+1. Так мы построим элементы ai для всех . Множество

An = {a1, a2, ..., an} ~ |1, n| ~ A.

Множество A не равномощно собственному подмножеству (см. теорему 1). Значит,

A = An = {a1, a2, ..., an}.

Очевидно, что из i < k следует ai < ak, т. е. A подобно отрезку |1, n|.

Из этой теоремы следует, что все n! возможных перестановок множества с n элементами имеют один и тот же тип.

1.2. Совершенно упорядоченные множества

Определение. Два элемента упорядоченного мно­жества, один из которых мажорируется другим, называются сравнимыми. Упорядоченное множество, любые два элемента которого сравнимы, называется совершенно упорядоченным.

Так, всякое непустое множество вещественных чисел, упорядо­ченное  по  возрастанию  (или убыванию), совершенно упорядочено.

  Очевидно, совершенно упорядоченное множество — это решетка,  в которой каждое двухточечное  (а  значит,  и ка­ждое конечное) подмножество обладает  наибольшим  и наи­меньшим элементами.

Сечением в совершенно упорядоченном множестве называют всякое разбиение этого множества на два непустых подмножества, каждый элемент одного из которых пред­шествует каждому элементу другого. Первое из этих под­множеств называют нижним, а второе—верхним классом сечения.

Возможны следующие типы сечений.

1° В нижнем классе есть наибольший элемент, а в верх­нем— наименьший. Такое сечение называется скачком.

2° В нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем — наименьшего элемента.  Такое сечение называется щелью.

3° В нижнем классе есть наибольший элемент, а в верх­нем нет наименьшего, либо в нижнем классе нет наиболь­шего элемента, но в верхнем есть наименьший. Такое сече­ние называется дедекиндовым, а наибольший элемент его нижнего класса или наименьший элемент верхнего—рубежом этого сечения.

Совершенно упорядоченное множество, в котором все сечения — дедекиндовы, называется непрерывным. Так, мно­жество R всех вещественных чисел, упорядоченное по возрастанию (или убыванию),  непрерывно (Дедекинд).

  В  непрерывном  совершенно упорядоченном множе­стве  С (как и вообще во всяком совершенно упорядоченном мно­жестве без щелей.)  каждое  ограниченное  сверху (снизу) непустое подмножество М обладает верхней (нижней) гранью: ею служит рубеж сечения в С, имеющего своим верхним (нижним) классом совокупность всех верхних (нижних) границ множества М.

В частности, каждое непустое множество М