Дополнительная программа вступительного испытания для поступающих в магистратуру по специальностям 1-31 80 03 «Математика»

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА

вступительного испытания для поступающих в магистратуру

по специальностям

1-31 80 03 «Математика»,

1-31 80 09 «Прикладная математика и информатика»

по дисциплине «Высшая математика и информационные технологии»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа вступительного испытания для абитуриентов, поступающих в ИПНК НАН Беларуси для освоения содержания образовательной программы высшего образования II ступени, разработана в соответствии с требованиями образовательных стандартов по специальностям 1-31 80 03 «Математика» и 1-31 80 09 «Прикладная математика и информатика». Основная цель вступительного испытания заключается в комплексной проверке теоретического уровня подготовки абитуриентов, в обобщении и взаимной увязке знаний, полученных ими в процессе обучения на I ступени высшего образования.

Задачами вступительных испытаний является оценка уровня знаний по следующим разделам:

элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; линейная алгебра; основные понятия математического анализа; дифференциальное исчисление функций одной переменной; дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; интегральное исчисление; теория комплексных чисел;  ряды; дифференциальные уравнения; основные понятия теории вероятностей; основные понятия математической статистики; основные понятия информационных технологий; прикладное программное обеспечение; основные понятия программирования.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Тема 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Поверхности в пространстве.

Кривые второго порядка и их канонические уравнения: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Векторы и действия с ними. Разложение вектора по координатным осям. Координаты вектора. Длина вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Тема 2. Линейная алгебра

Матрицы и операции над ними.

Определитель. Способы вычисления определителей.

Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.

Системы линейных уравнений. Теоремы Крамера, Кронекера-Капелли.

n-мерные векторы и действия над ними. n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.

Тема 3. Основные понятия математического анализа

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Понятие функции. Основные элементарные функции. Предел функции в точке.

Понятие непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций.

Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

Тема 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Производные элементарных функций. Производные высших порядков.

Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Дифференцируемость функции. Дифференциал и его геометрический смысл. Приложения дифференциала к приближенным вычислениям.

Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условие экстремума.

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых.

Формулы Тейлора и Маклорена. Примеры разложения элементарных функций по формуле Маклорена и применение этих разложений.

Тема 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Понятия функции двух переменных и n переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Производная функции по направлению. Градиент.

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Тема 6. Интегральное исчисление

Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Основные неопределенные интегралы. Методы интегрирования (метод замены переменной, интегрирование по частям).

Определенный интеграл. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Несобственные интегралы.

Двойные и кратные интегралы.

Поверхностные и криволинейные интегралы.

Тема 7. Комплексные числа. Ряды

Понятие комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера и Муавра.

Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости. Признаки сходимости рядов с положительными членами (признаки сравнений, Даламбера).

Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды.

Тема 8. Дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения. Виды и примеры дифференциальных уравнений. Задача Коши.

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения. Примеры решения. Методы вариации произвольных постоянных, неопределенных коэффициентов.

Системы дифференциальных уравнений. Примеры решения.

Тема 9. Основные понятия теории вероятностей

Понятие случайного события. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Независимые события.

Формула полной вероятности и формула Байеса.

Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения случайной величины.

Основные законы распределения случайных величин. Нормальное, экспоненциальное, равномерное распределение.

Тема 10. Основные понятия математической статистики

Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, полигон, гистограмма. Точечные оценки параметров распределения. Несмещённость, состоятельность и эффективность оценки.

Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Корреляционный анализ. Выборочный коэффициент корреляции.

Регрессионный анализ. Парная и множественная линейная регрессия. Понятие о методе наименьших квадратов.

Статистические гипотезы и их проверка. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Примеры задач на проверку статистических гипотез.

Тема 11. Основные понятия информационных технологий

Понятие информации. Единицы измерения информации. Представление информации в компьютере.

Виды обеспечения информационных технологий. Классификация технических и программных средств.

       Тема 12. Прикладное программное обеспечение

Прикладные программы: классификация, примеры.

Табличные процессоры. Основные сведения о Microsoft Excel. Ячейки. Вычисления. Функции.

Базы данных. Реляционные базы данных. Системы управления базами данных (на примере одной из СУБД): основные возможности и решаемые задачи.

Системы компьютерной математики (на примере одной из систем): основные возможности и решаемые задачи.

Тема 13. Основные понятия программирования

Константы и переменные. Типы данных. Объявление переменных (на примере одного из языков программирования).

Массивы и другие структуры данных: объявление, основные операции (на примере одного из языков программирования).

Ввод-вывод данных в программах (на примере одного из языков программирования).

Безусловный переход, условный оператор, циклы (на примере одного из языков программирования).

Подпрограммы: процедуры и функции (на примере одного из языков программирования).

ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Литература

Высшая математика

1. Архипов, по математическому анализу / , , . – М. : Дрофа, 2008. – 638 с.

2. Вся высшая математика : учебник для студентов высших технических учебных заведений: [теория, примеры: в 7 т.] / [и др.]. – М. : URSS : ЛКИ, 2012.

3. Демидович, курс высшей математики : учебное пособие для вузов / , . – М. : Астрель : АСТ, 2008 – 654 c.

4. Письменный, лекций по высшей математике : полный курс / . – М. : Айрис-Пресс, 2011. – 602 с.

Информационные технологии

1. нформационные технологии: Учебник / А. Хлебников. − М.: КноРус, 2014. – 471 с.

2. Информатика. Базовый курс / Под ред. . − СПб: Питер, 2013.− 640 с.

3. Стоцкий, Ю. А. Microsoft Office 2010 / , А. Васильев, И. Телина. – СПб.: Питер, 2011. – 425 с.

4. Франка, П. С++. Учебный курс / П. Франка. – СПб. : Питер : Мир книг, 2012. – 491 с.