Вопросы к экзамену по математическому анализу (2 семестр)
Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, вычисление. Криволинейный интеграл первого рода: определение, физический смысл, вычисление. Криволинейный интеграл второго рода: определение, физический смысл, вычисление. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, вычисление. Поток — поверхностный интеграл второго рода: определение, физический смысл, вычисление. Общая схема определения интеграла числовой функции. Свойства интегралов. Цилиндрические и сферические координаты в тройном интеграле. Формула Грина. Теорема о независимости интеграла второго рода от формы пути для случая двух переменных. Формула Стокса. Потенциальные векторные поля; условия независимости интеграла второго рода от формы пути интегрирования в пространстве. Формула Гаусса-Остроградского. Соленоидальные векторные поля; свойство векторных трубок. Определение дивергенции векторного поля. Формула для вычисления в декартовых координатах. Определение ротора векторного поля. Формула для вычисления в декартовых координатах. Признаки сходимости числовых рядов: необходимый, сравнения, интегральный Коши, Даламбера, Коши (радикальный). Теорема Лейбница для знакочередующихся рядов. Теорема о сходимости абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Теорема о непрерывности равномерного предела последовательности непрерывных функций. Пример последовательности, сходящейся поточечно, но не равномерно. Теорема о почленном интегрировании функциональной последовательности. Теорема о почленном дифференцировании функциональной последователь-ности. Теорема Абеля для степенных рядов. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения периодической функции в ряд Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Связь между коэффициентами триго-нометрической и показательной форм ряда Фурье. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Интеграл Фурье как предел ряда Фурье при бесконечном увеличении периода функции. Формула обращения преобразования Фурье. Свойства преобразования Фурье (6 свойств). Преобразование Фурье функции Гаусса. Теорема Планшереля. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье.
