«Кто не знает математики, не может узнать  никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества»

Р. Бэкон  (английский философ)

Математика является как бы движущей силой современной науки, ибо она дает ей методы, с помощью которых делаются многочисленные открытия. Замечательные достижения в космонавтике, вычислительной технике, ядерной физике, синтез сложных органических веществ с заданными свойствами, ранняя диагностика различных заболеваний, координация производства немыслимы без использования математических методов.

УМНОЖЕНИЕ

1. Умножение на однозначное число

    Чтобы устно умножить число на однозначный множитель, выполня­ют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умно­жении, а иначе: на однозначный множитель сначала умножают десятки данного числа, затем единицы и оба результаты складывают, применяя распределительный закон умножения.

Примеры:

27 • 9 = (20 + 7) • 9 = 20 • 9 + 7 • 9 = 180 + 63 = 243, 46 • б = (40 + 6) • 6 = 40 • 6 + 6 • 6 = 240 + 36 = 276.

    Если один из множителей раскладывается на однозначные множи­тели, бывает удобно последовательно умножать на эти множители.

Примеры:

17 • 8 = 17 • 2 • 2 • 2 = 34 • 2 • 2 =68 • 2 = 136,

32•6 = 32•3•2 = 96•2 = 192,

25•16 = 25 • 4 • 4 = 100 • 4 = 400,

125 •16 = 125 • 8 • 2 = 1000 • 2 = 2000.

Умножение на 4 и на 8

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
    Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Примеры:

123•4 = 246•2 = 492,

235•4 = 470•2 = 940.

    Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Примеры:

117 • 8 = 117 • 2 = 234 • 2 = 468 • 2 = 936

или

117 • 8 = 100 • 8 + 17 • 8 = 800 + 80 + 56 = 936.

Умножение на 5

    Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10, а затем де­лят на 2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам.

Примеры:

48 • 5 = 480 : 2 = 240,  343• 5 = 3430:2 = 1715.

При умножении на 5 четного числа удобнее сначала делить попо­лам, а к полученному результату приписывать ноль. Примеры:

84 • 5 = (84 : 2) • 10 = 420, 192• 5 = 96• 10 = 960.

2. Умножение на двузначное число

Умножение на двузначное число стараются упростить при устном вы­полнении, заменяя это действие более привычным умножением на одно­значное число.

    Если первый множитель - однозначное число, то мысленно пере­ставляют множители и выполняют умножение на однозначное число.

Пример:

6 • 29 = 29 • 6 = (20 + 9) • 6 = 20 • 6 + 9 • 6 = 120 + 54 = 174.

    Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы.

Примеры:

39 • 12 = 39 • (10 + 2) = 39 • 10 + 39 • 2 = 390 + 78 = 468,

51 • 18 = 51 • (10 + 8) = 51 • 10 + 51 • 8 = 510 + 408 = 918

или

51 • 18 = 18 • 51 = 18 • (50 + 1) = 18 • 50 + 18 • 1 = 900 + 18 = 918.

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в кото­ром они выражены меньшими цифрами.

    Если один из множителей легко разложить в уме на однозначные множители, то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз.

Примеры:

35 • 12 = 70 • 6 = 420,

18 • 24 = 36 • 12 = 72 • 6 = 144 • 3 = 300 + 120 + 12 = 432.

Умножение двузначных чисел, меньших, чем 20

    К одному из множителей прибавить число единиц другого множи­теля, сумму увеличить в 10 раз и сложить с произведением чисел разря­да единиц обоих множителей.

Примеры:

18 • 14 = (18 + 4) • 10 + 4 • 8 = 220 + 32 = 252 или

18 • 14 = (14 + 8) • 10 + 8 • 4 = 220 + 32 = 252.

Обоснование: (10 + а) • (10 + b) = 100 + 10а + 10b + а • b = 10 • (10 + а + + b) + а • b = 10 • ((10 + а) + b) + а • b.

Умножение на 25

    Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100 (приписы­вают два нуля) и затем делят на 4.

Пример:

64 • 25 = 64 • 100 : 4 = 6400 : 4 = 1600.

Если число кратно 4 - вначале делят его на 4, а потом к частному приписывают два нуля.

Если же число при делении на 4 дает остаток, то к неполному част­ному при остатке 1 приписывают 25, при остатке 2 приписывают 50, при остатке 3 приписывают 75.

Примеры:

48 • 25 = 48: 4 • 100 = 1200,

363 • 25 = 9075.

3. Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10 (из книги )

♦ «Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц рав­на 10.

М = 10т + п, К = 10а +(10 - п). Составим произведение:

М • К =(10т + п) • (10а + 10 - п) = 100am + 100m - 10тп + Юап +  + 10п - п2 = т-(а + 1)-100 + п -(10а + 10 - п) - 10тп = (10т)• (10• • (а + 1)) + п-(К - 10т).

Полученный вывод применим к нахождению произведения двух чисел, у которых сумма единиц равна 10. Например, 54 • 26 = 50 • 30 + 4 • • (26 - 50) = 1500 - 96 = 1404.»

Интересно, что этот удобный способ умножения придумал один из учеников Сергея Александровича Рачинского. «Этот прием - измышле­ние 12-летнего мальчика, усердствовавшего в моей школе по части ум­ственного счета и удивившего меня мгновенным умножением 43 на 87. От него научился я в таких случаях множить 40 на 90 и прикладывать 3 на 47»,- писал .

63 • 37 = 60 • 40 + 3 • (37 - 60) = 2400 - 3 • 23 = 2400 - 69 = 2331 или

37 • 63 = 30 • 70 + 7 • (63 - 30) = 2100 + 7 • 33 = 2100 + 231 = 2331.

Умножим 34 на 76.

34 • 76 = 30 • 80 + 4 • (80 - 34) = 2400 + 4 • 46 = 2400 + 184 = 2584.

    Умножение двузначных чисел, близких к 100 или трехзначных близких к 1000

Рассмотрим данный способ на примерах (учащиеся старших классов могут обосновать его применение самостоятельно).

Вычислить 94 • 87.

Получим две последние цифры ответа (единицы и десятки): 100 - 94 = = 6, 100- 87 = 13, перемножим их: 6 • 13 = 78. Получим две первые циф­ры ответа (тысячи и сотни): 94-13 = 81. В результате получили 94 • 87 = = 8178.

Вычислить 92 • 89.

Получим две последние цифры ответа (единицы и десятки): 100 - 92 = = 8, 100 - 89 = 11, перемножим их: 8* 11 = 88. Получим две первые цифры ответа (тысячи и сотни): 92 - 11 = 81. В результате получили 92 -89 = 8188.

Вычислить 82 • 93.

Получим две последние цифры ответа (единицы и десятки): 100 - 82 = = 18, 100 - 93 = 7, перемножим их: 18 • 7 = 126. Запишем 26, а 1 сотню добавим к сотням. Получим две первые цифры ответа (тысячи и сотни): 82 - 7 = 75, 75 + 1 = 76. В результате получили 82 • 93 = 7626.

Вычислить 996 • 993.

Получим три последние цифры ответа (единицы, десятки и сотни): 1000 - 996 = 4, 1000 - 993 = 7, перемножим их: 4 • 7 = 28. Запишем 028. Получим три первые цифры ответа (тысячи, десятки тысяч и сотни ты­сяч): 996 - 7 = 989. В результате получили 996 • 993 = 989028.

Вычислить 9972.

9972 = 997*997. Получим три последние цифры ответа (едини­цы, десятки и сотни): 1000 - 997 = 3, 1000 - 997 = 3, перемножим их: 3 • 3 = 9. Запишем 009. Получим три первые цифры ответа (тысячи, десятки тысяч и сотни тысяч): 997 - 3 = 994. В результате получили 9972 = 997-997 = 994009.

    Умножение числа, состоящего из одинаковых цифр, на двузнач­ное число, у которого сумма цифр равна 10

♦ Число десятков двузначного множителя увеличиваем на 1 и умно­жаем на повторяющуюся цифру многозначного числа, приписываем дан-

ое многозначное число без двух цифр, а затем двузначное произведение единиц множителя и повторяющейся цифры многозначного числа. Умножим 555 • 73.

(7 + 1)*5 = 40. Пишем 40, приписываем 5, а затем приписываем 3-5 = 15. Получим 40515.

Умножим 666666 • 91.

(9 + 1) • 6 = 60. Пишем 60, приписываем 6666, а затем приписываем 1 • 6= 06. Получим 60666606.

Умножим 8888 • 46.

(4 + 1)*8 = 40. Пишем 40, приписываем 88, а затем приписываем 6 • 8 = 48. Получим 408848.

    Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10
    Число десятков любого множителя умножить на число, которое на 1 больше числа десятков, затем перемножить отдельно единицы этих чи­сел и, наконец, к первому результату справа приписать второй.

Примеры:

204 • 206 = 42024, т. к.        53 • 57 = 3021, т. к.

    20 • (20 + 1) = 420, пишем 420;        1) 5 • (5 + 1) = 30, пишем 30; 6 • 4 = 24, пишем 24.        2) 3 • 7 = 21, пишем 21. Значит, Значит, 204•206 = 42024.  Значит, 53•57 = 3021.