Решения репетиционного экзамена. Математика (базовый уровень) 11 класс

Решения репетиционного экзамена. Математика (базовый уровень) 11 класс

Вариант 110202

1.Вычислите ⋅24

Решение.  Выполним преобразования: ⋅24 = = =

Ответ:  49

2.Найдите значение выражения  .

Решение.  Преобразуем выражение, используя свойства степени:  =

Ответ: 2000 

3. Ежемесячная плата за телефон составляет 300 рублей в месяц. В следующем году она увеличилась на 6%.Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?

Решение. Посчитаем, сколько рублей составляет 6% от 300 рублей: 300 ⋅ 0,06 = 18(рублей).

Значит, в следующем году плата составит: 300+18 = 318(рубля)

Ответ: 318

4. Мощность постоянного тока ( в ваттах) вычисляется по формуле  P = I2R, где  I – сила тока ( в амперах), R  - сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите Р (в ваттах),  если I = 1,5 A и  R= 48Ом.

Решение. Подставим данные, согласно формуле: Р = 1,52 ⋅48 = 2,25 ⋅ 48 = 108

Ответ: 108

5. Найдите  sinx, если  cos x = - 0,8 и 90°< х < 180°.

Решение. Поскольку угол х лежит во второй четверти, его синус положителен. Поэтому

sinx =  =  

Ответ:  0,6

6. В среднем за день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Конференция длится 8 дней. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

Решение. Узнаем сколько пакетиков  чая потребуется на 8 дней:  80 ⋅ 8 = 640 .

Вычислим сколько пачек чая потребуется на все дни конференции: 640:100 = 6,4.

Значит, на все дни конференции потребуется 7 пачек чая.

Ответ: 7.

7. Решите уравнение  х2 + 8 = 6х. Если уравнение имеет более одного  корня, в ответе укажите больший из них.

Решение:  Преобразуем данное уравнение  х2 + 6 = 5х  ⇔  х2 - 5х + 6 = 0. По теореме Виета для квадратного уравнения  х1 ⋅ х2 =  6, х1 + х2 = 5. Таким образом, х1 = 2, х2 = 3. Набольший  корень  х = 3.

Ответ: 3.

8.Какой наименьший угол ( в градусах) образуют минутная  и часовая стрелки часов в 16:00?

Решение: Меньший угол ( в градусах), который образуют минутная  и часовая стрелки часов в 16:00 составляет одну третью часть от всего круга, т. е. искомый угол составит: 360:3 = 120.

Ответ: 120 

9. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) тол­щи­на лез­вия брит­вы Б) рост жи­ра­фа В) ши­ри­на фут­боль­но­го поля Г) ра­ди­ус Земли		1) 6400 км 2) 500 см 3) 0,08 мм 4) 68 м

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер.

A	Б	В	Г

Решение:

Опре­де­лим наи­боль­шую ве­ли­чи­ну. Оче­вид­но, что это ра­ди­ус Земли. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние 1). Опре­де­лим наи­мень­шую из пред­став­лен­ных ве­ли­чин - тол­щи­на лез­вия брит­вы, сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние 3). Рост жи­ра­фа может быть 2), ис­хо­дя из остав­ших­ся зна­че­ний. Сле­до­ва­тель­но, ши­ри­на фут­боль­но­го поля - 4)

Ответ: 3241

10. На се­ми­нар при­е­ха­ли 7 уче­ных из Нор­ве­гии,7 из Рос­сии и 6 из Ис­па­нии. Каждый ученый подготовил один доклад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся случайны образом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

Решение:

Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 7 + 7 + 6 = 20 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет вось­мым, ока­жет­ся из Рос­сии, равна 7: 20 = 0,35.

Ответ: 0,35.

11. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1973 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Решение:

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года (то есть с 7 по 12 месяц) со­став­ля­ла 16 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 16.

12. Для транс­пор­ти­ров­ки 42 тонн груза на 1200 км можно вос­поль­зо­вать­ся услу­га­ми одной из трех фирм-пе­ре­воз­чи­ков. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки и гру­зо­подъ­ем­ность ав­то­мо­би­лей каж­до­го пе­ре­воз­чи­ка ука­за­ны в таб­ли­це. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за самую де­ше­вую пе­ре­воз­ку?

Пе­ре­воз­чик	Сто­и­мость пе­ре­воз­ки одним ав­то­мо­би­лем (руб. на 100 км)	Гру­зо­подъ­ем­ность ав­то­мо­би­лей (тонн)
А	3100	4
Б	4000	5,5
В	7600	10

Решение:

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

Для пе­ре­воз­ки 42 тонн груза пе­ре­воз­чи­ку A по­на­до­бит­ся 11ав­то­мо­би­лей. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки каж­дым из них со­ста­вит 31 ⋅ 1200 = 37200 руб. Пол­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки 37200 ⋅ 11 = 409200 руб.

Для пе­ре­воз­ки 42 тонн груза пе­ре­воз­чи­ку Б по­на­до­бит­ся 8 ав­то­мо­би­лей. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки каж­дым из них со­ста­вит 40 1200 = 48000 руб. Пол­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки 48000 ⋅ 8 = 384000 руб.

Для пе­ре­воз­ки 42 тонн груза пе­ре­воз­чи­ку В по­на­до­бит­ся 5 ав­то­мо­би­лей. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки каж­дым из них со­ста­вит 76 1200 = 91200 руб. Пол­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки 91200⋅5 = 456000 руб.

Сто­и­мость самой де­ше­вой пе­ре­воз­ки со­ста­вит 384000 руб.

Ответ: 384000.

13. Вода в со­су­де ци­лин­дри­че­ской формы на­хо­дит­ся на уров­не h= 80 см. На каком уров­не ока­жет­ся вода, если её пе­ре­лить в дру­гой цилин­дри­че­ский сосуд, у ко­то­ро­го ра­ди­ус ос­но­ва­ния вдвое боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Решение:

Объём воды, на­ли­той в ци­линдр, вы­со­той h и ра­ди­у­сом r равен ��r2h. Сле­до­ва­тель­но, при уве­ли­че­нии ра­ди­у­са ци­лин­дра в 2 раза, при не­из­мен­ном объёме, вы­со­та стола воды ока­жет­ся в 22 = 4 раза мень­ше, зна­чит, вода во вто­ром ци­лин­дре до­стиг­нет уров­ня 20 см.

Ответ: 20.

14.

Решение.  Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, про­ведённой в этой точке. Он по­ло­жи­те­лен и мень­ше 1, если ка­са­тель­ная на­кло­не­на к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси абс­цисс под углом мень­ше 45°; боль­ше 1, если угол на­кло­на боль­ше 45°, но мень­ше 90°;если угол наклона больше 90° ,то угловой коэффициент отрицательный. По­это­му в точке В уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен и боль­ше 1, в точке С — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен и меньше 1, в точке А — от­ри­ца­те­лен и меньше −1, в точке Д — от­ри­ца­те­лен и больше −1. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие А — 3,  В — 2, С – 4  и Д — 1.

Ответ: 3241

15. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, медиана ВМ равна 6 см. Площадь треугольника АВС равна 12. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является высотой треугольника, значит равна 6см. Из формулы площади треугольника  S = 1|2ah вычислим основание равнобедренного треугольника АС = S:0.5h = 12 : (0,5⋅6) = 12 : 3 = 4 см.

Из прямоугольного треугольника АМВ по теореме Пифагора вычислим длину стороны АВ.

АМ2  + ВМ2 =АВ2, (2)2 + 62 = 28  + 36 = 64, АВ2  = 64, значит АВ = 8см.

Ответ: 8.

16.  Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 20, а его об­ра­зу­ю­щая равна 8. Се­че­ние, па­рал­лель­ное оси ци­лин­дра, уда­ле­но от неё на рас­сто­я­ние, рав­ное 12. Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Решение:

Се­че­ние, па­рал­лель­ное оси ци­лин­дра — пря­мо­уголь­ник. Одна его сто­ро­на равна об­ра­зу­ю­щей ци­лин­дра. Най­дем вто­рую его сто­ро­ну из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии по фор­му­ле: АВ = 2 , где AB − дан­ная сто­ро­на, r − ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а h − рас­сто­я­ние от се­че­ния до оси ци­лин­дра. АВ = 2 Таким об­ра­зом, пло­щадь дан­но­го се­че­ния равна 32 ⋅ 8 = 256.

Ответ: 256.

17. Решение: Рассмотрим соотношения:

2) , это число соответствует точке Д;

4) (-1  = = 3 ,  это число соответствует точке С; 

3)   - это число соответствует точке В; 

1) ,  это число соответствует точке А.

Значит,  А – 1, В – 3, С – 4, Д – 2.

Ответ:  1342

18. В груп­пе учит­ся 30 сту­ден­тов, из них 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по эко­но­ми­ке и 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по ан­глий­ско­му языку. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

В этой груп­пе

1) найдутся 11 сту­ден­тов не по­лу­чивших ни одного зачета

2) хотя бы 10 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

3) не боль­ше 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

4)  всегда найдётся сту­дент, ко­то­рый не по­лу­чил зачёта по ан­глий­ско­му языку, но по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке.

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и

дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

Решение:

1) Сту­ден­тов, ко­то­рые не по­лу­чи­ли ни од­но­го зачёта, от 0 до 10. Но не 11.

2) Это верно.

3) Да, так как всего по эко­но­ми­ке по­лу­чи­ли зачёты 20 сту­ден­тов. То есть боль­ше сту­ден­тов с зачётом по эко­но­ми­ке быть не может.

4) Не факт. Может быть такое, что каж­дый сту­дент, ко­то­рый по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке, также по­лу­чил зачёт и по ан­глий­ско­му языку.

Ответ: 23

19.  Вы­черк­ни­те в числе 141565041 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 30. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

Решение:

Если число де­лит­ся на 30, то оно также де­лит­ся на 3 и на 10. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль. Тогда вычёрки­ва­ем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число де­ли­лось на три не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на трём, зна­чит, нужно вы­черк­нуть цифру 1 или цифру 4. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем числа 145650, 115650 и 415650

Ответ: 145650, 115650 или 415650.

20. В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

1) за 5 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 6 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;

2) за 8 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 6 зо­ло­тых и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После нескольких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 55 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

Решение:

Пусть Ни­ко­лай сде­лал сна­ча­ла х опе­ра­ций вто­ро­го типа, а затем у опе­ра­ций пер­во­го типа. Тогда имеем:

  ⇔

Тогда се­реб­ря­ных монет стало на  6у – 8х = 180 – 200 = - 20 боль­ше, то есть на 20 мень­ше.

Ответ : 20.