V Международная Жаутыковская олимпиада по математике (стр. 3 )

VIII Международная Жаутыковская олимпиада по математике

Алматы, 2012

Первый день

(Каждая задача оценивается в 7 баллов)

1. Дан остроугольный треугольник , пусть – произвольная внутренняя точка отрезка . Пусть и – основания перпендикуляров, опущенных из точки на и соответственно, – ортоцентры треугольников и соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника не зависит от положения точки на

2. Множество (единичных) квадратов таблицы называется удобным, если каждая строка и каждый столбец содержит по крайней мере два квадрата, принадлежащих этому множеству. Для каждого определите наибольшее , для которого существует удобное множество из квадратов, которое перестает быть удобным при удалении любого из квадратов из множества.

3. Многочлены с действительными коэффициентами такие, что . Докажите, что или .

Второй день

(Каждая задача оценивается в 7 баллов)

4. Существуют ли такие целые и функция , что выполняются одновременно следующие два условия:

i) для всякого ;

ii) и ?

5. Равносторонние треугольники и построены на диагоналях выпуклого четырехугольника так, что точки и лежат по одну сторону от , а точки и лежат по одну сторону от . Найдите , если .

6. Решите в целых числах уравнение .

IX Международная Жаутыковская олимпиада по математике

Алматы, 2013

Первый день

(Каждая задача оценивается в 7 баллов)

1. Дана трапеция в которой . На боковой стороне отмечена точка . Обозначим через и центры описанных около треугольников и окружностей соответственно. Известно, что описанные около треугольников  и окружности вторично пересекаются в точке Докажите, что прямая проходит через точку .