1. Найти равновесие в матричной игре:

Определим верхнюю и нижнюю цену игры:

– нижняя цена игры, – верхняя цена игры.

, следовательно, ищем решение в смешанных стратегиях.

.

Строим графики четырех линейных функций, по которым ищем максимум. Четко выделим нижнюю границу, ниже которой графика «не существует». Судя по ней, мы можем сказать, что стратегии 3 и 4 можно убрать из рассмотрения, т. к. они не пересекаются в точке оптимума. Тем самым, мы свели матрицу к матрице 2x2. Решим игру алгебраическим методом:

Оптимальная стратегия игрока 1: , оптимальная стратегия игрока 2: , цена игры .

2. Решить биматричную игру:

,

Равновесия в чистых стратегиях:

Но еще можно найти равновесие в смешанных стратегиях:

3. Найти коррелированное равновесие в этой же биматричной игре. Не знаю, актуален ли такой способ. Просто я не совсем понял, как действовать, но примерно знаю, что должно получиться. Поэтому, старался всё расписывать как можно подробнее.

Первый игрок:

Т. к. , то, посмотрев на вторую строчку системы, легко понять, что неравенство будет справедливо только при нулевых значениях и . Тогда, чтобы сумма всех была равна единице, подберем и такими, чтобы выполнялось первое неравенство системы. Пусть . Тогда, может быть любым положительным. Т. е., (чтобы выполнялось третье неравенство системы).

Получили матрицу Видим, что в обоих случаях только первому игроку невыгодно отклоняться от предложения арбитра. Второму же выгодно будет отклониться от решения арбитра во второй ситуации. Т. е. это не коррелированное равновесие. Тем не менее, продолжим действовать по подобной схеме.

Второй игрок:

Аналогично, т. к. , то, посмотрев на вторую строчку системы, легко понять, что неравенство будет справедливо только при нулевых значениях и . Тогда, чтобы сумма всех была равна единице, подберем и такими, чтобы выполнялось первое неравенство системы. Пусть . Тогда, может быть любым положительным. Т. е., (чтобы выполнялось третье неравенство системы).

Получили матрицу . Видим, что в обоих случаях только второму игроку невыгодно отклоняться от предложения арбитра. Первому же выгодно будет отклониться от решения арбитра во второй ситуации. Т. е. это тоже не коррелированное равновесие.

Исходя из двух полученных матриц и , мы можем смело сделать вывод, что обоим игрокам невыгодно отклоняться от ситуации (1,1), реализующейся с вероятностью . Т. е., искомая матрица может принять вид:

.

И, т. к. , то .

– коррелированное равновесие.

.