Тема консультации для учителей математики 8 класса
по учебнику , , .
на ноябрь:
«ИСЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»
1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.
2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в ноябре изучается содержание третьей главы «Исследование нелинейных процессов».
3. Тематическое планирование
В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.
Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.
Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Вы можете скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю, обратившись к содержанию консультации на сентябрь.
Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.
4. Методические рекомендации к организации учебного процесса
Глава 3. Исследование нелинейных процессов
В третьей главе рассматриваются функции, описывающие нелинейные процессы. Сначала учащиеся изучают степенную функцию (в общеобразовательном классе достаточно познакомить учащихся с у = x2 и у = x3), затем обратную пропорциональность. После чего восьмиклассники расширяют известное им понятие кусочно-линейной функции, знакомясь с кусочно-заданной функцией. После введения арифметического квадратного корня учащиеся рассматривают функцию 
, при изучении которой показывается ее связь с функцией у = x2 .
При изучении свойств этих функций учащиеся получают первичное представление о понятиях: асимптота, касательная, о таких свойствах функции, как возрастание и убывание. Эти понятия постепенно вводятся в речевую практику учащихся. Здесь же учащиеся имеют возможность познакомиться с таким свойством функции как четность (нечетность). Следует понимать, что данный материал относится к зоне ближайшего развития восьмиклассников, то есть входит в перечень задач, которые большинство учащихся могут пока решить только с помощью взрослого. Поэтому задания, в которых учащиеся «читают» графики функций, оперируя понятиями возрастание, убывание, четность, нечетность, наименьшее и наибольшее значения функции, не являются на данном этапе обучения обязательными для всех, они носят развивающий характер и не должны становиться объектом обязательного контроля. В 9 классе после уточнения и систематизации знаний об общем понятии функции и общих ее свойствах этот материал становится обязательным для всех, так как входит в зону актуального развития учащихся. Изучение этого материала на обобщенном уровне в 9 классе становится возможным именно благодаря базе, заложенной при работе со свойствами каждой отдельной функции, изучаемой в 8 классе.
Введение кусочно-заданной функции в содержание курса дает возможность закреплять и систематизировать знания учащихся об изученных видах функций. Так построение кусочно-заданной функции дает возможность строить части графиков изученных функций и регулярно отрабатывать понятие области определения функции. «Чтение» графиков кусочно-заданных функций позволяет формировать богатый опыт применения представлений учащихся о свойствах функций.
В данной главе учащиеся получают начальные сведения о действительных числах. Для введения понятия иррационального числа используется задача нахождения длины стороны квадрата с заданной площадью a. После введения определения арифметического квадратного корня доказываются его свойства. На основании этих свойств учащиеся учатся преобразовывать числовые и буквенные выражения. Помимо знакомства с простейшими преобразованиями, связанными с непосредственным применением определения арифметического корня, свойств корня из произведения и частного, а также основного свойства корня 
и основного тождества 
, учащиеся знакомятся с операцией внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под корня. Отдельный пункт посвящен более сложным преобразованиям выражений, содержащих корни: освобождению от иррациональности в знаменателе и другим, основанным, в том числе, на использовании формул сокращенного умножения.
При углубленном изучении курса восьмиклассники осваивают способы приближенного вычисления квадратного корня. При этом помимо оценки значения корня путем подбора ближайших точных квадратов, рассматривается использование последовательности чисел xn: 
.
5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.
§1. Представление о некоторых нелинейных процессах
П.3.1.1. Степенные функции их графики
Основные содержательные цели:
познакомить учащихся с функциями y = x2 и y = x3; выявить свойства этих функций; сформировать умение строить графики функций y = x2 и y = x3; сформировать понятие параболы и ее вершины; сформировать представление о степенной функции с натуральным показателем и ее свойствах при четном и нечетном показателе; сформировать первичное представление о промежутках возрастания и убывания функции, возрастающих и убывающих функциях, четных и нечетных функциях, а также о функциях, не являющихся ни четными, ни нечетными; закрепить умения сравнивать рациональные числа; решать неравенства; подготовить изучение функций, график которых имеет «выколотую» точку, и познакомить учащихся с подобными функциями.Для актуализации понятия функции и степени с показателем, равным 2 и 3, можно использовать № 2. Для знакомства с функцией у = x2 и самостоятельного открытия ее свойств рекомендуется использовать № 1(а), № 3. Для знакомства с функцией у = x3 и самостоятельного открытия ее свойств рекомендуется использовать № 1(б); №4.
Следует обратить внимание на задание №16, так как в нем предлагается план для «чтения» графика. Именно этот план (за исключением третьего его пункта в общеобразовательном классе) следует использовать в дальнейшем при выполнении всех заданий с формулировкой: «Прочитайте график по известному плану». При «чтении» графика у учащихся формируется опыт применения новых для них понятий: промежутки возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения функции. Важным является выделение промежутков, где функция положительна или отрицательна, нулей функции, так как это готовит учащихся к графическому способу решения неравенств.
При работе с подобными заданиями на данном этапе обучения важно использовать наглядность: пусть учащиеся обводят красным цветом часть графика, лежащую выше оси абсцисс, а синим – ниже оси абсцисс. Для выделения промежутков возрастания и убывания следует использовать прием, описанный в текстовой части учебника – провести карандашом по графику слева направо и использовать аналогию с подъемом или спуском с горы.
Еще раз обратим внимание, что задания, в которых учащиеся «читают» графики функций, не являются на данном этапе обучения обязательными для всех, они носят развивающий характер. Следует понимать, что их выполнение готовит учащихся к систематизации знаний об общем понятии функции и изучению общих ее свойств в 9 классе.
Из раздела для повторения важно обратить внимание на №29–33, где учащиеся вспоминают смысл «выколотой» точки на схеме при решении неравенств и переносят его на график функции, тем самым они знакомятся с функциями, график которых имеет выколотую точку, и готовятся к изучению вопроса «Кусочно-заданные функции». Следует обратить внимание учащихся, что после выполнения данных заданий они смогут в дальнейшем строить графики функций не похожих, на первый взгляд, на те, что ими изучались. Для этого следует:
найти область определения исходной функции; преобразовать исходную функцию, выполнив сокращение; построить график полученной функции на области определения исходной (выкалывая нужные точки графика полученной функции).Учитывая, что первые шаги представленного алгоритма заключаются в выполнении преобразований алгебраических дробей, его выполнение не является обязательным для всех учащихся на данном этапе обучения и носят развивающий характер. После изучения алгебраических дробей, подобные задания входят в зону актуального развития восьмиклассников (см.№12 – 13 п.5.1.1).
П.3.1.2. Обратная пропорциональность и её график
Основные содержательные цели:
уточнить понятие обратной пропорциональности; выявить свойства этой функции; сформировать умение строить ее график; сформировать понятие гиперболы, представление об асимптоте графика; сформировать опыт применения понятий: промежутки возрастания и убывания функции, возрастающие и убывающие функции, четные и нечетные функции, а также функции, не являющихся ни четными, ни нечетными; повторить понятие кусочно-линейной функции и закрепить умение работать с ее графиком; закрепить умение переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную и осуществлять обратный переход.Для знакомства с функцией 
и самостоятельного открытия ее свойств рекомендуется использовать № 50 – 51.
П. 3.1.3. Кусочно-заданные функции
Основные содержательные цели:
уточнить понятие кусочно-линейной функции; сформировать представление о кусочно-заданной функции; сформировать опыт применения понятий: промежутки возрастания и убывания функции, возрастающие и убывающие функции, четные и нечетные функции, а также функции, не являющихся ни четными, ни нечетными; повторить понятие рационального числа; закрепить умения переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную и осуществлять обратный переход; решать неравенства с модулем и системы линейных неравенств.Для актуализации понятия кусочно-заданной функции рекомендуется использовать № 000, для уточнения знаний учащихся об этой функции используется № 000. Для самостоятельного открытия понятия кусочно-заданной функции рекомендуется использовать № 000.
Мы предлагаем скачать примеры решения заданий первого параграфа данной главы.
§2. Квадратный корень
П.3.2.1. Арифметический квадратный корень и его свойства
Основные содержательные цели:
cформировать понятие арифметического квадратного корня, понятие иррационального числа, понятие действительного числа; выявить свойства арифметического квадратного корня; сформировать умение выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих корень; закрепить умение определять количество решений системы линейных уравнений с двумя неизвестными; ввести в речевую практику учащихся термин «параметр»; закрепить умение строить график кусочно-линейной функции; раскладывать на множители многочлен, применять формулы сокращенного умножения; повторить понятие модуля.Для самостоятельного открытия понятия арифметического квадратного корня рекомендуется использовать систему заданий № 000 – 143.
П.3.2.2. Преобразование выражений с корнями
Основные содержательные цели:
сформировать умение выполнять более сложные преобразования выражений, содержащих корни; продолжать формировать опыт применения понятий: четные и нечетные функции, а также функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными; вводить в речевую практику учащихся термин «параметр»; повторить понятия аргумента и значения функции, закрепить умение строить график функции у = x2 на заданном промежутке.На этапе актуализации рекомендуется выполнить подготовительное задание № 000, а затем задания № 000 – 187, в которых учащиеся выполняют преобразование выражений с корнями с применением формул сокращенного умножения. Для самостоятельного открытия способа упрощения выражений, разобранных в примере 1 текстовой части рекомендуется использовать № 000. В более подготовленном классе для самостоятельного открытия способа упрощения выражений, разобранных в примерах 2 – 3 текстовой части рекомендуется использовать № 000.
П.3.2.3. График функции 
Основные содержательные цели:
познакомить учащихся с функцией
; выявить ее свойства; сформировать умение строить график функции 
; повторить понятие арифметического квадратного корня и закрепить умение преобразовывать выражения с корнем; повторить смысл терминов «необходимо» и «достаточно» и закрепить умение их использовать; закрепить умение решать уравнения с помощью разложения на множители. Для знакомства с функцией 
и самостоятельного открытия ее свойств рекомендуется использовать № 000. Задание № 000 актуализирует понятие арифметического корня и готовит учащихся к работе на уроке.
П. 3.2.4. Приближенное вычисление квадратного корня*
Основные содержательные цели:
сформировать умение вычислять приближенно значение квадратного корня; сформировать представление об использовании последовательности чисел xn:
для приближенного вычисления квадратного корня; повторить способ выделения полного квадрата и закрепить умение выполнять преобразование выражений с корнями. Для самостоятельного открытия способа приближенного вычисления значения квадратного корня рекомендуется последовательно выполнить задания № 000 – № 000.
Мы предлагаем скачать примеры решения заданий второго параграфа данной главы.
6. Методические рекомендации по планированию уроков
При изучении третьей главы планированием предусмотрены уроки ОНЗ, структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 3.1.1. «Степенные функции их графики».
В этом пункте учащиеся знакомятся с функциями у = x2 и у = x3, а также получают возможность рассмотреть общий случай: степенную функцию с натуральным показателем.
Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствии с требованиями технологии деятельностного метода . На этапе мотивации учитель может предложить учащимся обсудить эпиграф к первому пункту и высказать свои мысли по поводу высказывания американского математика Рихарда Куранта.
Для самостоятельного открытия рекомендуется использовать систему заданий № 1 – 4. Учитель выбирает, с какой из новых функций он сам познакомит учащихся, а какую функцию учащиеся будут открывать самостоятельно.
Рассмотрим пример структуры открытия нового знания.
1. Новое знание: функция у = x2 и ее свойства.
2. Актуализация.
Повторить: понятие степени, свойства степени с показателем 2 и 3, понятие функции (№1 –2).
3. Задание на пробное действие.
Рассмотрите график функции, изображенный на рисунке (на доске изображен рисунок, аналогичный рисунку 1 на стр.3 учебника) и ответьте на вопросы: график какой функции изображен? как он называется? Перечислите его свойства.
4. Фиксация затруднения.
Я не могу ответить на вопросы о функции, график которой изображен.
Я не могу обосновать, что мой ответ верный.
5. Фиксация причины затруднения.
Не изучен этот вид функций.
6. Цель учебной деятельности.
Познакомиться с новой функцией и ее свойствами.
7. Фиксация нового знания.
Учащиеся должны познакомиться с функцией у = x2 и ее свойствами.
Открыть новое знание учащиеся могут путем описания выявленной на практике зависимости между величинами в общем виде с использованием текста задания № 3. После чего в форме подводящего диалога учитель знакомит учащихся с функцией у = x3 и ее свойствами.
На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить задание №16 (в общеобразовательном классе пункт 3 плана можно опустить) и № 22 – 23, № 24(а), для самостоятельной работы учащимся можно предложить № 24 (б, в).
На этапе включения в систему знаний учитель знакомит учащихся с общим случаем степенной функции в обзорном порядке. После чего учитель предлагает учащимся одно из заданий № 5 – № 11 (или несколько заданий).
Наиболее подготовленных учащихся следует познакомить со степенными функциями более подробно, для этого может быть задействован текст учебника. При углубленном изучении предмета на это отводится отдельный урок, в общеобразовательном классе изучение этого вопроса может стать необязательной частью домашнего задания.
Для повторения можно выполнить одну или несколько задач из раздела повторения, например, № 31 – № 33, при выполнении которых учащиеся готовятся к работе с графиками, имеющими «выколотые» точки. На этапе рефлексии можно вернуться к эпиграфу и предложить учащимся прокомментировать его с точки зрения знаний, полученных ими на уроке. После чего учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке.
Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типа, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность.
В конце изучения третьей главы учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или использовать в качестве домашней работы.
Планированием также предусмотрены и уроки обучающего контроля. Перед проведением контрольной работы рекомендуется провести урок рефлексии с использованием содержания соответствующего раздела «Задачи для самоконтроля».
Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.
