Математика

УДК 517.2

Математика (3 семестра): программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы № 1 / Сост.  , , ; РГАТУ имени . – Рыбинск. 2012. – 28 с. – (Заочная форма обучения / РГАТУ имени ).

Методические указания разработаны на основе ФГОС ВПО и  предназначены для студентов заочной формы обучения, обучающихся по специальностям 140100 «Теплоэнергетика и теплотехника» (5 лет), 150400 «Металлургия сварочного производства» (5 лет) и 151900 «Технология машиностроения» (4 и 5 лет) и изучающих математику 3 семестра.

Методические указания содержат рабочую программу, список литературы, методические указания по выполнению контрольной работы №1, основные понятия и формулы, решения типовых задач, варианты контрольной работы по темам: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Функции. Дифференциальное исчисление. Исследование функций».

СОСТАВИТЕЛИ

кандидат физико-математических наук, доцент ;

кандидат физико-математических наук, доцент ;

кандидат физико-математических наук, доцент .

ОБСУЖДЕНО

на заседании кафедры высшей математики

Зав. РИО. А., 53

© РГАТУ, 2012

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Вариант № 0

1.0.  Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

       Формулы Крамера:

       Вычислим определители:

       Ответ:

2.0.  Даны матрицы:

       Найти         

Решение. 1) Находим обратную матрицу 

2)

3)

4)

       Ответ:

3.0.  Найти расстояние от правого фокуса эллипса до прямой, проходящей через фокус параболы и центр окружности

       Решение. Фокус параболы или находится в точке а – правый фокус эллипса. Уравнение окружности преобразуем к виду Тогда – центр окружности.

       Записываем уравнение прямой, проходящей через точки и : Откуда – нормальное уравнение прямой. Тогда расстояние от точки до прямой находится по формуле

       Ответ:

4.0. Исследовать функцию на непрерывность. Сделать схематический чертеж.

       

       Решение. Функция не определена при поэтому условие непрерывности не выполняется, и – точка разрыва функции.

       Найдем пределы функции слева и справа:

       Односторонние пределы конечные, следовательно, – точка разрыва 1-го рода.

Для построения графиков вычислим и .

5.0.  Найти производную функции, заданной явно, неявно или параметрически:

1)  

2)  

   

3)  

6.0.  Найти и построить асимптоты графика функции

       Решение.

1. Вертикальные асимптоты:  и , отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами графика.

2. Наклонные асимптоты.  Уравнение наклонной асимптоты

1)

2)

       Тогда – уравнение наклонной асимптоты.

7.0.  Провести полное исследование  и построить график функции:

Решение.

1) Найдем область определения функции , то есть  .

2) Найдем точки разрыва и определим их характер. Исследуем точку x = 4. Для этого найдем правый и левый пределы функции.
. Так как оба предела равны бесконечности, то точка x = 4 является точкой разрыва второго порядка.

3) Так как правый и левый пределы функции в точке  x = 4 равны бесконечности, x = 4 – вертикальная асимптота графика функции.

4) Область определения функции не является симметричной относительно точки 0, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

5) Найдем точки пересечения графика с осями координат. На оси ОY x=0, . – точка пересечения с осью OY. На оси ОX y=0. Решаем уравнение . Оно эквивалентно уравнению . Y(3)=0. – точка пересечения с осью  ОХ.

6) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.

.

Находим критические точки. Отсюда получаем x=3 и  x = 5 – критические точки. Наносим на числовую ось область определения функции и критические точки.

Если на интервале y’>0, то функция возрастает на этом интервале, если на интервале y’< 0, то функция убывает на этом интервале.

– функция возрастает,

– функция убывает,

– функция, убывает,

– функция возрастает.

x=3 – точка максимума функции. .

x=5 – точка минимума функции. .

7) Найдем направления выпуклости графика функции и точки перегиба.

для всех х из области определения функции.

При график функции выпуклый вверх,

При график функции выпуклый вниз.

Точек перегиба у графика нет.

8) Найдем наклонные асимптоты графика. Прямая y=kx+b, где , , является наклонной асимптотой графика функции. Найдем k и b.

y = x –2 – наклонная асимптота графика функции.

9) Строим асимптоты и график функции