Школьная этап олимпиады по математике
(3б.) Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1-2-4-8-16=19 стало верны. (4 б.) В шкатулке разбойника лежит несколько драгоценных камней (но не больше 1000). Известно, что 2/9 всех камней составляют алмазы, 4/11 - рубины, 1/7 - сапфиры, а остальные - изумруды. Сколько изумрудов в этой шкатулке? (5б.) Число увеличили на 10%, а потом ещё на 10%. На сколько процентов увеличили число за 2 раза? ( 6б.) В треугольнике ABC середина биссектрисы BL совпадает с серединой отрезка MH, соединяющего основания высоты AH и медианы CM. Найдите углы треугольника. (7 б.) В школе 350 учеников и 175 парт. Ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. Можно ли пересадить учеников так, чтобы ровно половина мальчиков сидела за одной партой с девочками?Решение:
Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1-2-4-8-16=19 стало верны.Решение: ||1-2|-|4-8|-16|=19
В шкатулке разбойника лежит несколько драгоценных камней (но не больше 1000). Известно, что 2/9 всех камней составляют алмазы, 4/11 - рубины, 1/7 - сапфиры, а остальные - изумруды. Сколько изумрудов в этой шкатулке?Решение. (2/9)+(4/11)+(1/7)=505/693. Число 693 - единственное возможное среди чисел, не превосходящих 1000. Поэтому, общее число камней - 693. Доля изумрудов составляет 1-(505/693)=188/693.
Ответ. 188 изумрудов.
Число увеличили на 10%, а потом ещё на 10%. На сколько процентов увеличили число за 2 раза?Решение: пусть число x.
x+0,1x=1,1x-после первого увеличения на 10%. 1,1x+0,11x=1,21x-после 2 увеличений.Ответ: 21%
Решение: Поскольку в четырёхугольнике BMLH диагонали делятся точкой пересечения пополам, то он — параллелограмм. Следовательно, ML || BC. Поскольку CM — медиана, ML — средняя линия треугольника ABC. Но тогда L — середина стороны AC, и LH || AB — тоже средняя линия. Получается, что биссектриса BL и высота AH одновременно являются медианами, откуда AB = BC = AC, то есть все углы треугольника ABC равны 60o. В школе 350 учеников и 175 парт. Ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. Можно ли пересадить учеников так, чтобы ровно половина мальчиков сидела за одной партой с девочками?
Решение: из условия задачи следует, что в школе все парты заняты и свободных мест нет. И за каждой партой сидят девочка с мальчиком, либо девочка с девочкой, либо мальчик с мальчиком.
По условию, половина девочек сидят с мальчиками. Рассмотрим вторую половину девочек, которые сидят друг с другом.
Пусть они занимают N парт, значит, половина девочек составляет 2N. Тогда общее число девочек = 4N. Т. е. количество девочек делится на 4.
Предположим, что мы можем пересадить мальчиков нужным образом. И после пересадки ровно половина мальчиков будет сидеть с девочками. Тогда, рассуждая аналогично, мы получаем, что число мальчиков должно составлять 4М. Т. е и количество мальчиков должно делиться на 4.
Но тогда и общее число учеников (мальчики + девочки) будет делиться на 4. А по условию их 300, что на 4 не делится.
Значит, наше предположение о возможности пересадить мальчиков неверно.
Ответ: мальчиков пересадить нельзя.
