Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса
2011 – 2012 учебный год
(7 баллов) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна наименьшему значению трехчлена
. Найдите сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии. (7 баллов) Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (7 баллов) Решить систему уравнений: 
(7 баллов) Построить график функции: 
. (7 баллов) На каждой из двух параллельных прямых отметили по пять точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках? (7 баллов) Решите в целых числах уравнение: 
. (7 баллов) Табунщик продал табун лошадей трем покупателям. Первому покупателю он продал половину всех бывших у него лошадей и еще пол-лошади; второму – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади; наконец, третьему – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади. Сколько лошадей было в табуне, если известно, что ни одну лошадь не пришлось резать пополам? _____________________________________________________________________________________________________________________________________
Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса
2011 – 2012 учебный год
(7 баллов) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна наименьшему значению трехчлена
. Найдите сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии. (7 баллов) Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (7 баллов) Решить систему уравнений: 
(7 баллов) Построить график функции: 
. (7 баллов) На каждой из двух параллельных прямых отметили по пять точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках? (7 баллов) Решите в целых числах уравнение: 
. (7 баллов) Табунщик продал табун лошадей трем покупателям. Первому покупателю он продал половину всех бывших у него лошадей и еще пол-лошади; второму – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади; наконец, третьему – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади. Сколько лошадей было в табуне, если известно, что ни одну лошадь не пришлось резать пополам? _____________________________________________________________________________________________________________________________________
Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса
2011 – 2012 учебный год
(7 баллов) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна наименьшему значению трехчлена
. Найдите сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии. (7 баллов) Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (7 баллов) Решить систему уравнений: 
(7 баллов) Построить график функции: 
. (7 баллов) На каждой из двух параллельных прямых отметили по пять точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках? (7 баллов) Решите в целых числах уравнение: 
. (7 баллов) Табунщик продал табун лошадей трем покупателям. Первому покупателю он продал половину всех бывших у него лошадей и еще пол-лошади; второму – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади; наконец, третьему – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади. Сколько лошадей было в табуне, если известно, что ни одну лошадь не пришлось резать пополам? Решение
Решение. Наименьшее значение выражения
равно 8. Значит 
. Тогда сумма одиннадцати первых членов этой прогрессии 
. Ответ: 44.
Решение. См. рисунок.
, где 
. Откуда получаем 
. Значит, 
.
Ответ: 5.
Ответ: (1; 2; 3).
. Строим поэтапно: 1). 
2). 
3). 
4). 
5). 
6). 
Решение. Разложим на множители левую часть уравнения
. Так как число 5 – это 5⋅1, 1⋅5, −5⋅(−1), −1⋅(−5) , то мы получаем совокупность четырех систем:
или 
Решая системы, получаем, x1 = 0, y1 = 1; x2 = 6, y2 = −1; x3 = 0, y3 = −1; x4 = −6, y4 = 1.
Ответ: 7 лошадей.