Экзамен по прикладной математике

Экзамен по прикладной математике

2-й семестр 2013-2014 учебного года

ФИО _______________________________________________

Группа _____________________________________________________________

Время начала: _________________________________  Время окончания:  _______________________________

Указания:

1. Числовые ответы даются с точностью до 3-го знака после запятой;

2. Задача, в которой указан только ответ без соответствующих пояснений, оценивается в 0 баллов;

3. Каждая задача оценивается в 2 балла. Если в задаче есть пункт (пункты) со звездочкой (*), то баллы за правильное решение сформулированного в пункте вопроса добавляются к баллам, полученным за решение задачи;

4. Работа, написанная неразборчивым почерком, оценивается в 0 баллов;

5. На экзамене запрещено использование мобильных, мультимедийных и других электронных устройств, за исключением калькулятора.

Задача	Баллы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Итого

Задача 1

Вы поднимаетесь на лифте в здании, у которого бесконечное число этажей. Лифт движется с остановками на каждом этаже. Незнакомец заходит в лифт на 5-м этаже и может выйти из него на любом этаже. Вероятность того, что он выйдет из лифта на очередном этаже, равна 0.04.

Чему равна вероятность того, что незнакомец покинет лифт на 20-м этаже?

*(+1 балл) После того, как двери лифта закрылись на 12-м этаже, Вы и незнакомец и по-прежнему находились в лифте. Чему равна вероятность того, что незнакомец выйдет из лифта, не доезжая 16-го этажа?

Задача 2

При проведении опроса задавался вопрос «Есть ли у Вас любимые литературные произведения у , и ?». Опрос показал следующее: 61% респондентов назвали произведение , 61% респондентов назвали произведение , 43% респондентов назвали произведение , 38% респондентов назвали произведения и , 27% респондентов назвали произведения и , 38% респондентов назвали произведения и , 13% респондентов затруднились с ответом.

1) Чему равна вероятность того, что наугад выбранный респондент назвал произведение, по крайней мере, одного из писателей?

2) Чему равна вероятность того, что наугад выбранный респондент назвал произведения ровно двух из трех писателей?

3) Чему равна вероятность того, что наугад выбранный респондент назвал произведения всех трех писателей, если известно, что респондент назвал произведение ?

4) Являются ли события A={наугад выбранный респондент назвал произведение } и В={наугад выбранный респондент назвал произведение } независимыми? Ответ обосновать.

Задача 3

Из колоды в 52 карты наугад выбирают одну карту. Пусть событие A={выбранная карта – красной масти}, B={выбранная карта – либо валет, либо дама, либо король}.

Чему равна вероятность события

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 4

Техническая система состоит из 9 блоков (см. рисунок). Надежность (вероятность безотказной работы) блока типа №1 равна 0.2, типа №2 равна 0.3, типа №3 равна 0.4, типа №4 равна 0.5, типа №5 равна 0.6. Блоки отказывают независимо друг от друга. Найти вероятность безотказной работы системы в целом.

Задача 5

Четыре грани игральной кости A красные и две — белые; у кости B две грани красные и четыре — белые. Один раз бросается монета. Если выпал герб, то все время бросается только кость A, если решетка – только кость B.

1) Найти вероятность получить красную грань при одном бросании кости.

2) Найти вероятность того, что третье бросание кости даст красную грань, если первые два бросания дали красные грани.

*(+1 балл) Первые 8 испытаний дали красные грани. Какова вероятность того, что бросалась кость A?

Задача 6

На соревнованиях по гольфу каждому участнику дается 3 попытки на то, чтобы с одного удара забить мяч в лунку с расстояния 5 метров. При каждом ударе вероятность того, что участник попадет в лунку, равна 0.2 и она одинакова для всех участников соревнования. Участник побеждает, если он попал в лунку, по крайней мере, один раз из трех. Чему равна вероятность того, что отдельно взятый участник победит в соревновании?

Задача 7

В группе учится 20 студентов, из которых: 7 студентов из Индии, 5 студентов из Омана, 3 студента из Ирана, 3 студента из Македонии и 2 студента из Колумбии. Из группы наугад выбирают 5 студентов.

1) Чему равна вероятность того, что все 5 студентов будут из одной страны?

2) Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один студент будет из Колумбии?

*(+1 балл) Стало известно, что среди выбранных пяти студентов нет ни одного из Индии. Чему равна вероятность того, что среди выбранных студентов есть, по крайней мере, по одному студенту из каждой оставшейся страны?

Задача 8

Правильный тетраэдр (грани пронумерованы от 1 до 4) и правильная игральная кость подбрасываются 1 раз независимо друг от друга.

1) Чему равна вероятность того, что сумма очков на нижней грани тетраэдра и верхней грани кости не превосходит 3?

2) Вы подбросили тетраэдр и кость одновременно (и по-прежнему независимо) 5 раз подряд. После каждого подбрасывания Вы смотрите сумму очков на нижней грани тетраэдра и верхней грани кости. Чему равна вероятность того, что сумма очков была меньше 4, по крайней мере, 1 раз?

*(+1 балл) Тетраэдр подбросили 6 раз, причем каждое подбрасывание не имело никакого влияния на остальные. Если в каждом из 5-ти подбрасываний сумма очков была больше 3, то чему равна вероятность того, что в результате шестого подбрасывания сумма очков на нижней грани тетраэдра и верхней грани кости не превзошла 3?

Задача 9

В игре крэпс (от англ. craps) подбрасываются две игральные кости, после того, как игроки сделали ставки на сумму выпавших на верхних гранях очков. Казино обвинило одного из игроков в том, что он в тайне подменил две правильные игральные кости на кости со смещенным весом. Вес на подмененных костях распределен так, что вероятности выпадения 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков равны 1/4, 1/4 1/6, 1/6, 1/12, 1/12, соответственно. Вас пригласили в качестве инспектора-эксперта для расследования данного дела.

1) Если две игральные кости со смещенным весом подбросить 1 раз, то чему равна вероятность того, что на верхних гранях выпадет одинаковое число очков?

2) История обращений данного казино в полицию свидетельствует о том, что обвинения справедливы в 5% случаев и ложны в 95% случаев. Для того чтобы проверить выдвинутое обвинение на этот раз, Вы решаете подбросить две изъятые игральные кости 20 раз и посчитать сколько раз на верхних гранях выпадет одинаковое число очков. Вы получили в 20 подбрасываниях ровно 6 раз, когда выпало одинаковое число очков. Зная это, чему равна вероятность того, что изъятые кости – со смещенным весом?

Задача 10

Дротик с большого расстояния бросается в мишень, изображенную на рисунке ниже. Считать, что диаметр большей окружности равен 10 см., диаметр меньшей окружности равен 4 см.

1. Чему равна вероятность того, что дротик попадет в область 1? в область 2? в область 3? в область 4?

2. Чему равна вероятность того, что из 5 бросков, по крайней мере, 2 попадут в область 4?