Математические методы и модели исследования операций (стр. 6 )

Критерий остановки итеративного алгоритма:

Применим метод Ньютона одновременно с градиентным методом оптимизации шага.

Результат

минимум z=-10.7370, в точке x=(3.3960;-0.0133). Минимум достигнут за 897 итераций.

Результаты показывают, что значение целевых функций одинаковое при градиентном методе с постоянным шагом, и эвристическом выборе шага, и методе Ньютона.

Алгоритм случайного поиска ( алгоритм Растригина )

Итерационная процедура поиска имеет вид:

где:

- скаляр > 0 – величина шага, который увеличивается после удачного шага, и уменьшается после неудачного шага.

- это вектор «предыстории», указывающий среднее направление поиска на предыдущих шагах.

Определяется по следующей схеме:

- это единичный вектор нормальных отклонений, который формулируется с помощью генератора псевдослучайных чисел.

- коэффициент, который можно изменять в процессе поиска решения и который распределяет доли случайности и регулярности в направлении поиска.

Если чисто случайная стратегия поиска,

  основан на предыстории.

- это постоянный весовой множитель .

Схема:

На i-том этапе, чтобы получить , случайный вектор и вектор предыстории усредняются.

Вектор будет принят или отвергнут в зависимости от того выполняется неравенство или нет:

После того как принят или отвергнут, увеличивают или уменьшают (сужаем область).

минимум z=-10.7395, в точке x=(3.3960;0.0192). Минимум достигнут за 245 итераций.

Стоит отметить, что наиболее важным плюсом этого метода является его 100% работа на поиск глобального минимума на любой поверхности. Что касается условного минимума, то для его отыскания требуется жесткий контроль за уменьшением на каждом удачном шаге.

Вопросы к самостоятельному изучению

Почему метод Ньютона требует комбинирования с другими методами? Когда каждый из методов наиболее эффективен? В чем недостатки и преимущества метода случайного поиска? Чем можно объяснить неэффективность градиентных методов на плоских поверхностях? Изучите работу каждого из методов на Банановой функции пакета MathLab. В чем сложность данной функции для поиска экстремума?

Постановка задачи для лабораторной работы

Дана функция f(x) - унимодальная на интервале . Необходимо:

Придумать функцию двух переменных, с выраженным минимумом. Провести полную графическую иллюстрацию. Реализовать алгоритм всех методов оптимизации для поиска минимума. Привести графическую иллюстрацию поиска решения. Провести численные эксперименты, варьирую различные параметры методов. Сделать выводы. Провести иллюстрацию нахождения минимума по каждому из методов. Провести сравнительный анализ всех методов. Разработать рекомендации к применению каждого из них в зависимости от функции *.6 Выработать универсальный алгоритм, использующий несколько методов на разных этапах, для нахождения экстремума функций любого вида или пояснить невозможность его существования.

Необходимая учебная и научная литература

атематические методы исследования операций в экономике. Санкт-Петербург: Питер 2000, 208 стр. Жданов модели и методы в управлении. М.: Дело и Сервис 1998, 176 стр. , , Толстопятенко методы в экономике. М.: Дело и Сервис 1999, 365 стр. Браверман модели планирования и управления в экономических системах. М.: Наука, 1976, 366 стр. истемное управление организацией. М.: Советское радио 1972, 450 стр. , Путко операций в экономике. Учебное пособие, ЮНИТИ, 407с.,1997. сновы исследования операций.- М.: Мир, 1973 Исследование операций (в двух томах) /Под редакцией Дж. Моудера, С. Элмаграби.-М.: Мир, 1981. сновы исследования операций(в трех томах). - М.: Мир, 1972 Вентцель операций. Задачи. Принципы. Методология. - М.: Наука, 1981. Моисеев задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981 еория иерархических многоуровневых систем. - М.: Мир, 1973 Анри-етоды и модели исследования операций. - М.: Мир, 1987 Воронов в динамику управляемых сложных управляемых систем. - М.: Наука. 1985. истемы: декомпозиция, оптимизация и управление. - М.: Машиностроение, 1987. , , Кобельков методы. - М.: Наука, 1987. Fletcher R. Ptractical Methods of Optimization. - Wiley & Sonns, New-York, 1987. Карманов программирование. - М.: Наука, 1986. атематическое программирование. Теория и алгоритмы: Наука, 1990. , , Столярова оптимизации. - М.: Наука, 1978. Растригин экстремального управления. - М.: Наука, 1974. рикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975. Дьяконов по применению системы PC MATLAB. - М.: Наука, 1993

1 Дополнительное сложное задание, необязательное к выполнению всеми студентами

2 Дополнительное сложное задание, не обязательное к выполнению всеми студентами

3 Дополнительное сложное задание, не обязательное к выполнению всеми студентами

4 Дополнительное сложное задание, необязательное к выполнению всеми студентами

5 Дополнительное сложное задание, не обязательное к выполнению всеми студентами

6 Дополнительное сложное задание, не обязательное к выполнению всеми студентами