Тренировочные задачи по дисциплине «Высшая математика»

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 

(2 СЕМЕСТР, ООС, ТПП)

1. Вычислить интеграл

1)  2)  3)  4)  5)

6)  7)  8)  9)  10)

2. Вычислить интеграл или доказать его расходимость

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

1. ,    2.   3.    4.   5.   6. 

7.    8.   9.   

4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной линиями 

  а)  y=  y=

  в)    г)

5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями

a)   б) y=

в)    г)  y=

6. Найти длину дуги: 

а)      б)  

г)  д) Найти длину одной арки циклоиды 

7. Решить дифференциальное уравнение

1., y(1)=0

  4. 

  y(1)=4

  7.    8.

  9. 

  11.    12.

  13.    14.

8. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка

1. ,   2.

3. ,   4. ,

5.   6.

7.  8.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения

1.    2.

3.   4.

5.    6.

7.   8., 

9.    10.

11.    12.

10. Решить систему дифференциальных уравнений

 

11. Вычислить двойные интегралы

 

 

12. Вычислить площадь области D

 

 

13. Найти массу неоднородной пластины D

14. Вычислить тройные интегралы

, где

, где

15. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

 

 

 

16. Найти массу неоднородного тела,  ограниченного поверхностями

17. Вычислить  криволинейные интегралы

1.  где  L: отрезок прямой от точки до точки

2. где  L: .

3.  где  L :.

18. Найти массу участка линии

1., если плотность линии в каждой точке .

2. , если плотность линии в каждой точке .

19. Вычислить криволинейные интегралы

где L:

где L:

20. Вычислить работу, совершаемую силой , при перемещении материальной точки  из точки А в точку В

21. Вычислить дивергенцию векторного поля в произвольной точке. Установить, являются ли заданные точки источниками или стоками

, , , .

22. Вычислить ротор векторного поля

23. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля вдоль замкнутого контура L (обход против часовой стрелки)

, L: Д ABC , , .

, L: .

24. Проверить является ли соленоидальным и/или потенциальным векторное поле . В случае потенциальности найти его потенциал и вычислить работу по перемещению материальной точки из В в С

25. Исследовать сходимость рядов

1. .                2. .         3. .  4. . 5.   6.   7. .         8. .        

9. .  10. .  11. .        12. .

26. Вычислите сумму ряда с точностью до 0,01.

1. .                2. .         3.

27. Найти область сходимости степенных рядов

1. .         2. .         3. .

4. .                 5. .         6. .

28. Вычислить с точностью до указанную величину

1. .                        2. .  3. .         4. .

29. Вычислить с точностью до указанные интегралы

1. .         2. .  3. .         4. .

30. Записать четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения

1. .                2. .

3. .                4. .

31. В урне 4 белых и 6 зеленых шаров. Какова вероятность того, что из наугад вынутых четырех шаров два белых?

32. В ящике имеется 15 одинаковых деталей, 6 из них окрашены. Найти вероятность того, что из пяти извлеченных наудачу деталей три окажутся окрашенными.

33. В корзине находятся 7 тюльпанов и 6 гвоздик. Наугад извлекается пять цветов. Какая вероятность того, что два из них гвоздики? 

34. Абонент забыл последние три цифры телефонного номера и набирает их наудачу. Какова вероятность набрать нужный номер с первого раза, если он помнит, что цифры различны?

35. Из букв разрезной азбуки составлено слово «картошка». Буквы перемешали и наудачу достают пять букв, выкладывая их в порядке доставания. Какова вероятность, что сложится слово «карта»?

36. Студент знает 25 вопросов из 30. Каждый билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) только один вопрос; б) хотя бы один вопрос?

37. Спортсмен стреляет в цель до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что будет сделано:  а) ровно четыре выстрела; б) не более двух выстрелов.

38. Вероятность того, что нужная деталь находится в первом, втором и третьем ящиках равна 0,9; 0,7 и 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что детали содержатся  а) не менее, чем в двух ящиках; б) хотя бы в одном.

39. Три стрелка независимо друг от друга произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели стрелками 0,8; 0,6 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что  а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) менее двух стрелков попадут в цель.

40. Два игрока бросают мяч в корзину независимо друг от друга. Вероятность попадания в корзину первым игроком при одном броске мяча равна 0,9, вторым - 0,8. Игроки делают по одному броску. Найти вероятность того, что: а) оба игрока не попадут в корзину; б) хотя бы один попадет в корзину.

41. Два студента проходят независимо друг от друга тест. Вероятность пройти тест для первого студента равна 0,7, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один студент пройдет данный тест удачно.

42. В двух ящиках содержится по 20 деталей, из них в первом ящике 9, а во втором 10 стандартных. Найти вероятность того, что извлеченная деталь из наугад взятого ящика будет стандартной.

43. Первый автомат дает брак 0,5%, второй – 0,7%, третий – 0,9%. С первого автомата поступило 100 изделий, со второго – 130, с третьего – 170. Найти вероятность того, что на конвейер попадает бракованная деталь.

44. Две фирмы поставляют телевизоры в магазин. Вероятность брака для первой фирмы 0,001, для второй – 0,005. Поставки первой фирмы втрое больше, чем второй. Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор - нестандартный.

45. В урне 3 белых и 5 черных шара. Из урны два шара унесли, а затем достали еще один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

46. Среди посадочного материала 30% составляют саженцы сосны. Какова вероятность, что среди 8 выбранных наудачу саженцев сосен окажется а) ровно пять; б) не более трех?

47. Игральный кубик подбрасывают 7 раз. Какова вероятность, что шесть очков выпадет:  а) три раза; б) не более двух раз?

48. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из пяти проверенных изделий более трех стандартных

49. Всхожесть семян составляет 80%. Найти вероятность того, что из 200 посеянных семян  взойдут: а) не менее170; б) ровно 150.

50. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие появится: а)ровно 75 раз; б) не более 70 раз.

51. Семена содержат 0,2% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить а) 7 семян сорняков; б) более 2 семян сорняков?

52. Завод отправил потребидоброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найдите вероятность того, что на базу прибудет:  а) менее двух поврежденных изделий; б) хотя бы одно поврежденное изделие.

53. Монету подбрасывают случайным образом 3 раза. Найти среднее квадратическое отклонение случайного числа - выпадений герба. Найти .

54. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень с вероятностью попадания 0,6, 0,7 и 0,8 соответственно. Найти математическое ожидание числа попаданий.

55. В партии деталей  вероятность быть бракованной составляет 10%. Наудачу отобраны 3 детали. Найти числа нестандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения.

56. Из урны, содержащей 5 белых и 3 чёрных шара, последовательно наудачу вынимают шары до появления белого шара. Найти дисперсию числа извлечённых чёрных шаров, если вынутые шары в урну не возвращаются. Вычислить .

57. Случайная величина задана функцией распределения . Найти ,

58. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:   Найти .

59. Определить, при каком значении параметра а функция

является плотностью распределения НСВ , найти числовые характеристики этой СВ и функцию распределения.

60. Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 15 см и средним квадратичным отклонением 0,2 см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу выбранной детали не выше 15,3 см. 

61. Случайная величина задана своей плотностью распределения , . Найти , и .

62. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения с параметрами и . Найти .

63. Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на среднее квадратическое  отклонение, если распределена по нормальному закону с , .

64. Время Т безотказной работы технического устройства распределено по показательному закону. Интенсивность отказов . Найти среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы за 150 ч.

66. Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения при передаче одного символа равна 0,004. Найти: а) среднее число искаженных символов; б) вероятность того, что будет искажено не более трех символов.