Разномасштабное математическое моделирование эффективных упругих свойств карбонатных коллекторов на основе петрофизических исследований керна

РАЗНОМАСШТАБНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ КАРБОНАТНЫХ КОЛЛЕКТОРОВ НА ОСНОВЕ ПЕТРОФИЗИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ КЕРНА

1,4, 2, 2, 2 , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,3

1МГУ им. , 2Институт физики Земли РАН, 3ИГЕМ, 4«РН-Эксплорейшн».

Введение

Методы теории эффективных сред позволяют моделировать эффективные упругие характеристики порово-трещиноватых сред, например, горных пород. В настоящее время существует огромное количество различных методов, и порой, достаточно трудно определить приемлемость того или иного подхода. В настоящей работе рассмотрены самые популярные методы для моделирования коллекторов углеводородов, сделаны выводы о применимости каждого метода. Практическое применение методов теории эффективных сред показано на примере моделирования карбонатных коллекторов.

Рассмотрены различные методы теории эффективных сред для моделирования эффективных упругих характеристик коллекторов углеводородов – Т-матрицы (оптической потенциальной аппроксимации и когерентной потенциальной аппроксимации OPA, CPA) [Jakobsen et al., 2003; Mavko et al., 2009], Мори-Танака [Mori, Tanaka, 1973], обобщенного сингулярного приближения [Shermergor, 1977; Bayuk et al, 2008] и другие. Показана связь различных подходов – теории возмущений, методов самосогласования и вариационных принципов. Продемонстрированно фундаментальное различие в подходах теорий эффективного поля [Kanaun, Levin, 2008; Buryachenko, 2007] и эффективной среды [Willis, 1977; Hornby et al., 1994]. Предложена классификация методов по степени сложности решения обратной задачи. Сделаны выводы о применимости различных методов для моделирования горных пород. Впервые построена математическая модель упругих свойств оолитового известняка.

Математические модели упругих свойств пород

Для сравнения методов теории эффективных сред было проведено моделирование эффективных упругих характеристик карбонатных пород. Для построения моделей в масштабе полноразмерного керна была использована модель двойной пористости. Предполагалось, что пустотное пространство представлено пустотами двух видов – порами и трещинами. Предполагается, что форма пор и трещин - эллипсоидальная (эллипсоид вращения) и характеризуется аспектным отношением, которое является аналогом относительной раскрытия пустот. Оба типа пустот имеют хаотическую ориентацию. Степень связности пустот описывается специальным параметром связности, который принимает значения  от 0 до 1. Считалось, что породы могут содержать как органическое вещество, так и закрытую пористость. Вследствие этого упругие свойства матрицы считались неизвестными, но изменяющимися в определенных пределах относительно свойств, определенных по минеральному составу. Для выражения связи между эффективным тензором упругости и параметрами внутреннего строения среды используются методы Т-матрицы (оптической потенциальной аппроксимации и когерентной потенциальной аппроксимации), Мори-Танака и обобщенного сингулярного приближения (ОСП).

Параметрами модели с двойной пористость являлись: аспектное отношение пор (АО_пор), аспектное отношение трещин (АО_трещин), параметр связности, скорости упругих волн в матрице (Vp_m, Vs_m), трещинная пористость (V_трещ). Параметр связности в некоторой степени учитывает также и извилистость пустотного пространства, который, в общем случае, является тензором.

В качестве основного метода был выбран метод Т-матрицы со специальным выбором тела сравнения [Jakobsen et al., 2003; Alkhimenkov, Bayuk, 2014]. Этот выбор обусловлен достаточно общим выражением для эффективного тензора упругости данного метода, из которого можно получить другие методы теории эффективных сред.

Рисунок 1 Дерево методов теории эффективных сред

Для вычисления эффективного тензора упругости использовалось следующее выражение:

12

34

56

где  - объемная концентрация включений, - упругие свойства матрицы породы, - упругие свойства флюида. Т-матрица  для одного семейства включений с упругими свойствами определена следующим выражением:

78

где . Тензор   зависит только от свойств тела сравнения  и от аспектного отношения эллипсоидов со свойствами матрицы [Bayuk et al, 2008; Алхименков, Баюк, 2013]. Тензор так же зависит только от свойств тела сравнения и аспектного отношения характеристического эллипсоида . Тензоры представляют собой следующую поправку к борновскому приближению теории возмущений и отвечают за пространственной влияние включений друг на друга.

Параметры модели определялись методами нелинейной оптимизации с ограничениями по измеренным значениям скоростей упругих волн (обратная задача). Ограничения задавались на основе визуального анализа фотографий микроструктуры и информации о генезисе пород.

На основе анализа микроструктуры породы в разных масштабах и используя результаты измерений скоростей упругих волн, как в образцах полноразмерного керна, так и цилиндрических образцах диаметра 30 мм, были построены параметрические математические модели упругих свойств исследуемых пород в двух масштабах – 1) полноразмерного керна и 2) образцов диаметром 30 мм.

Математическая модель карбонатного коллектора

Оолитовый известняк имеет особое внутреннее строение, которое отличается от других карбонатных пород (Рис. 2). В связи с этим для этой породы была построена математическая модель упругих свойств, отражающее внутреннее строение именно такой породы. Была построена следующая модельная среда для такой породы. Считалось, что модельная среда представлена двумя материалами: 1) пористой карбонатной вмещающей матрицей и 2) высокопористыми оолитами. Вторая среда (оолиты) в виде квази-изометричных включений находится в первой среде. Для каждой среды предполагается своя степень связности пустотного пространства. Кроме этого вводится степень связности оолитов в среде 1). В результате решения обратной задачи были определены следующие значения параметров для модели оолитового известняка: аспектное отношение пор в оолитах – 0.29, аспектное отношение пустот в матрице – 0.98, параметр связности пустот матрицы – 0.99, пористость оолитовых зерен (относительно оолитового материала) 27.7%, пористость вмещающей карбонатной матрицы – 11%, относительный объем пористых оолитов в пористой карбонатной матрице (среды 2) в среде 1)) – 40%. Связность пустот в оолитах – 0.9, связность оолитов в матрице – 0.3. Заметим, что математическая модель упругих свойств оолитового известняка строится впервые.

1	2	3
Рисунок 2 Фото шлифов карбонатных горных пород. 1 – песчаник среднезернистый, 2 – известняк, 3 – известняк оолитовый

Выводы

Метод Т-матрицы позволяет объединить множество различных подходов и сформулировать различные методы ТЭС в единой терминологии квантовой теории рассеяния. В методах эффективного поля [Buryachenko, 2007; Kanaun, Levin, 2008] взаимовлияние включений учитывается в композите с произвольной геометрией. Эти методы являются самыми перспективными в микромеханике неоднородных сред и значительно более сложными, чем «одноточечные» методы. Однако для моделирования коллекторов при определенных допущениях можно остановиться на подходе Т-матрицы, так как пространственное распределение неоднородностей в горной породе является эффективным параметром и не может быть определено точно. Согласно проведенному исследованию можно заключить, что одним из главных факторов в одноточечных методах аппроксимации, является выбор тела сравнения. Удачный выбор тела сравнения позволяет получить удовлетворительный результат практически любым методом ТЭС. Следующим по важности (но не последним) является выбор аспектного отношения двухточечной корреляционной функции  для учета пространственного влияния неоднородностей друг на друга. Тензор позволяет приближенно учесть пространственное распределение неоднородностей, которое, как показано в данном исследовании, влияет и на эффективный тензор упругости, и на скорости продольных и поперечных волн в породе.

Для более точного вычисления эффективных характеристик горной породы, необходимо владеть достаточно большим количеством информации относительно ее внутреннего строения. Кроме этого, необходимо иметь данные экспериментов как для проведения инверсии методами ТЭС, так и для уточнения и проверки результатов, полученных при моделировании. Для более детального изучения горной породы, необходимо иметь данные о микроструктуре на различных масштабах. Как косвенным способом для уточнения результатов, можно провести большое количество экспериментов по определению скоростей P и S волн в образце под различными углами позволяет, что позволит уточнить выбор тела сравнения. Вследствие этого выбор метода теории эффективных сред  не является определяющим при моделировании эффективных характеристик горной породы. Гораздо более важными является наличие априорных данных относительно внутреннего строения породы и наличие данных эксперимента.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского Научного Фонда, проект №14-17-00658.

Литература

, Баюк применимости параметров Томсена для трещиноватого карбонатного коллектора // Технологии сейсморазведки, 2013, №4. С. 36-48.

Alkhimenkov Yu. A., Bayuk I. O. Analysis of Anisotropy Parameters of Fractured Carbonate Reservoir // 6th EAGE Saint Petersburg International Conference & Exhibition, Extended Abstract, 2014

Bayuk I, Ammerman M., Chesnokov E. Upscaling of elastic properties of anisotropic sedimentary rocks // Geophys. J. Int., 172, 842–860, 2008.

Buryachenko V. A. Micromechanics of Heterogeneous Materials. Springer, 2007

Jakobsen M., Hudson J., Johansen T. A.  T-matrix approach to shale acoustics. Geophys. J. Int., 154, 533–558, 2003.

Hornby B. E., Schwartz L. M., Hudson, J. A.  Anisotropic effective-medium modeling of the elastic properties of shales // Geophysics, 59, 1570–1583, 1994.

Kanaun K. K., Levin V. M.  Self-Consistent Methods for Composites. 1, 2. Springer, Dordrecht, 2008.

Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J.  The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2009.

Mori T., Tanaka K.  Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta Metall., 21, 571-574, 1973.

Shermergor T. D.  Theory of Elasticity of Inhomogeneous Media. Nauka, Moscow, Russia, 1977. [in Russian]

Willis J.  Bounds and self-consistent estimates for the overall properties of anisotropic composites // J. Mech. Phys. Sol., 25, 185–202, 1977.