ОТЗЫВ

научных руководителей о  диссертации Чебунина Михаила Георгиевича

«Предельные теоремы в задаче обслуживания с множественным доступом

и в задаче о бесконечной урновой схеме», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика.

В диссертационной работе изучаются две вероятностные модели, информация о состояниях которых доступна не полностью.

Первая их них - система случайного множественного доступа с обратной связью «успех-неуспех» - изучается в первой главе диссертации. Системы множественного доступа - это системы обслуживания или передачи данных, в которых требования не имеют возможность установить контакт друг с другом и, тем самым, образовывать очередь. Поэтому они пытаются получить обслуживание независимо одно от другого и решают, передавать сообщение или нет, с некоторыми вероятностями, правило задания которых называется протоколом случайного множественного доступа. В работе рассматривается однородный случай, в котором в каждый момент времени вероятность попытки передачи является одной и той же для всех требований, т. е. индивидуальная информация о требовании и его истории не может учитываться. Предполагается, что передачи сообщений происходят за единичное время (слот). Если в начале слота времени ни одного требования не поступило на передачу, то обслуживающий прибор простаивает в течение этого слота. Если поступило одно требование, то оно успешно передается и покидает систему. Если же пришло более одного требования, то при передаче сообщения накладываются друг на друга (происходит «конфликт»), т. е. передача оказывается неуспешной, и все требования остаются в системе. Протокол множественного  доступа называется централизованным, если он использует информацию о текущем количестве требований в системе, и децентрализованным, если эта информация недоступна, а доступна лишь некоторая информация о том, что происходило при передачах в предыдущие моменты времени.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Начиная с 70-х годов 20-го века, были последовательно построены и обоснованы протоколы, гарантирующие стабильную работу системы при интенсивности входного потока, не превышающей порогового уровня 1/e - сначала для централизованных протоколов, а потом для различных классов децентрализованных  протоколов, основанных, в частности, на том, что есть возможность различать ситуации отсутствия вызовов и конфликта. При наличии этой информации ясно, как динамически изменять вероятности передачи для увеличения шансов на успех. Фоссом, Хайеком и Тюрликовым (2016) были  впервые предложены и исследованы децентрализованные протоколы с обратной связью «успех-неуспех», не основанные на различии этих двух ситуаций и не использующие никакую дополнительную индивидуальную информацию о требованиях. При построении таких протоколов использовалась новая идея, основанная на т. н.  «двойной рандомизации». Было доказано, что для любого числового интервала Д=(, ), строго вложенного в интервал (0, 1/e), т. е. 0<<<1/e, можно построить класс таких протоколов с двойной рандомизацией, гарантирующих стабильную работу системы при любой интенсивности входного потока лД. При доказательстве использовался так называемый метод жидкостной аппроксимации, который оказывается применимым только в случае, когда размеры переходных скачков цепи Маркова, описывающей работу протокола, принимают ограниченные значения. Авторам не удалось построить универсальных протоколов, гарантирующих стабильную работу системы при любой входной интенсивности из интервала (0,1/e).

успешно справился с этой проблемой, т. е. построил класс протоколов, стабилизирующую работу системы во всем диапазоне (0,1/e). У марковских цепей, описывающих работу этих протоколов, скачки оказываются с необходимостью неограниченными – чем дальше от начала координат точка, из которой производится скачок, тем больше размеры скачка. Поэтому метод жидкостной аппроксимации здесь применяться не может, и Михаил Георгиевич использовал для доказательства стабильности иные прямые вероятностные методы. Затем он получил оценки скорости сходимости к предельным распределениям для протоколов как с ограниченными, так и с неограниченными скачками. Кроме того, он рассмотрел более общий класс моделей, обобщающий класс систем множественного доступа на случай нескольких обслуживающих приборов, взаимодействующих между собой. предложил конструктивное построение стабильных протоколов для таких систем в случае, когда интенсивность входного потока ниже пороговой, и нашел оценки скорости сходимости в предельных теоремах, а также доказал невозможность построения стабильных протоколов при рассматриваемом наборе условий, если интенсивность входного потока превышает пороговую.

Вторая вероятностная модель - бесконечная урновая схема, где доступна информация только и количестве непустых урн - изучается в следующей главе диссертации. Каждый из n шаров независимо от других попадает в одну из урн с вероятностями,  убывающими определенным «регулярным» способом. Изучаются статистики числа непустых урн и числа урн, содержащих фиксированное количество шаров. Для этих статистик Карлин (1967) доказал усиленный закон больших чисел и центральную предельную теорему, а Барбу и Гнедин (2009) получили обобщение одномерной центральной предельной теоремы на случай более быстрого убывания вероятностей.

        доказал функциональный вариант центральной  предельной теоремы, а именно теорему о слабой сходимости (в равномерной метрике в пространстве функций без разрывов второго рода и при надлежайшей нормировке) временных процессов, описывающих динамику числа непустых урн и числа урн, содержащих не менее заданного количества шаров. Для доказательства теоремы он получил ряд тонких оценок для числа различных элементов выборки. Заметим, что теорема Карлина является естественным следствием полученного нового результата.

Также во второй главе диссертации рассмотрена параметрическая постановка задачи: вероятности попадания в урну зависят от неизвестного параметра, который требуется оценить. Для одного параметрического семейства неявная состоятельная оценка была построена в работе Закревской и Ковалевского (2001). предложил и обосновал ряд явных сильно состоятельных оценок для классов параметрических семейств, соответствующих различным допустимым скоростям роста математического ожидания числа занятых урн. Более того, в регулярном случае при ряде необходимых ограничений были получены неявная асимптотически нормальная оценка, основанная на числе занятых урн, и явная асимптотически нормальная оценка, основанная на числе занятых урн и числе урн, содержащих ровно один шар. Для проверки статистической гипотезы об одном классе регулярной зависимости вероятностей от параметра разработан статистический критерий, основанный на функциональной центральной предельной теореме, доказанной автором.

В рассматриваемой диссертации получен ряд новых и интересных результатов в двух областях современной теории вероятностей.  Все основные результаты, вынесенные на защиту, были своевременно опубликованы в рецензируемых журналах. В ходе выполнения диссертационной работы Михаил Георгиевич Чебунин продемонстрировал отличное владение аппаратом современной теории вероятностей, способность точно формулировать и аккуратно доказывать сложные предельные теоремы, желание и способность ставить и решать задачи в наибольшей общности. Считаем, что диссертационная работа соответствует всем требованиям, предъявляемым к кандидатским диссертациям, а ее автор, Михаил Георгиевич Чебунин, заслуживает присвоения степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика.

Научный руководитель

доктор физ.-мат. наук, профессор, 

ведущий научный сотрудник лаборатории теории вероятностей

и математической статистики

Института математики  СО РАН

 

E-mail: *****@***nsc. ru

Телефон: 8-(383)-329-76-09,

Адрес: 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4

21 октября 2016 г.

Научный руководитель

кандидат физ.-мат. наук, доцент,

доцент кафедры высшей математики

Новосибирского государственного

технического университета

  А. П.  Ковалевский

E-mail: *****@***nstu. ru

Телефон: 8-(383)-346-32-26,

Адрес: 630073 Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20

21 октября 2016 г.