Первая математическая олимпиада orange.
Финал. 4-5 классы.
1. Можно ли сложить квадрат из четырех таких фигурок?
2. В строчку выписаны числа 1, 2, 3, ... , 998, 999. Вычислим сумму всех четных чисел в этой строке, и всех нечетных чисел. Какая из этих сумм больше и насколько?
3. Можно ли пятью прямыми разделить плоскость ровно на 13 частей?
4. Девять тетрадей стоят 11 шекелей и несколько агорот. Тринадцать тетрадей стоят 15 шекелей и несколько агорот.
Сколько стоит тетрадка?
5. Имеются две квадратные таблицы 4Ч4, заполненые плюсами и минусами:
– | + | + | + | – | + | + | – |
+ | – | + | – | + | – | – | + |
+ | + | + | + | + | – | – | + |
+ | + | + | + | – | + | + | – |
За один ход разрешается изменять все знаки на противоположные в строке или в столбце. Можно ли за несколько таких ходов получить в каждой из таблиц только плюсы?
6. Можно ли соединить 7 телефонов, чтобы каждый аппарат соединен ровно с тремя другими?
Первая математическая олимпиада orange.
Финал. 6-7 классы.
1. Можно ли пятью прямыми разделить плоскость ровно на 13 частей?
2. Девять тетрадей стоят 11 шекелей и несколько агорот. Тринадцать тетрадей стоят 15 шекелей и несколько агорот.
Сколько стоит тетрадка?
3. Имеются две квадратные таблицы 4Ч4, заполненые плюсами и минусами:
– | + | + | + | – | + | + | – |
+ | – | + | – | + | – | – | + |
+ | + | + | + | + | – | – | + |
+ | + | + | + | – | + | + | – |
За один ход разрешается изменять все знаки на противоположные в строке или в столбце. Можно ли за несколько таких ходов получить в каждой из таблиц только плюсы?
4. Можно ли соединить 7 телефонов, чтобы каждый аппарат соединен ровно с тремя другими?
5. В таблицу, размеры которой нам неизвестны, записываются подряд натуральные числа (слева направо, сначала в первую строчку, потом во вторую, и т. д.). Известно, что число 25 записано в пятой строке, число 36 – в шестой, а число 50 – в последней.
Сколько строк в таблице?
6. После того как в трехзначном числе зачеркнули цифру десятков, число уменьшилось в 7 раз. Что это за число?
Первая математическая олимпиада orange.
Финал. 8-9 классы.
1. В каждой клетке таблицы 9Ч9 сидит кузнечик. После свистка каждый кузнечик прыгает в одну из ближайших клеток по диагонали. Докажите, что в результате образуется по-крайней мере 9 пустых клеток.
2. Найдите все действительные решения системы уравнений:
x2+y2+z2=1
x3+y3+z3=1
3. В олимпиаде участвовали 100 школьников. Им было предложено 6 задач. Известно, что каждую задачу решили по крайней мере N участника олимпиады. Кроме того, дано, что не было двух школьников которые вместе решили все. Найдите самое большое N для которого это может быть.
4. Йоси и Анат красят клетки таблицы 3Ч9. Каждым ходом они красят по 3 клетки. Йоси красит прямоугольники 1Ч3, а Анат красит уголки, как на рисунке. Нельзя красить одну и ту же клетку дважды. Ходят по очереди, начинает Йоси. Кто выигрывает?
5. Дани и Яна разрезали одинаковые квадратные листы бумаги на прямоугольники имеющие одинаковые периметры. Может ли у Дани получиться больше прямоугольников чем у Яны?
6. Найдите максимальное возможное отношение числа 
к числу 
.
Первая математическая олимпиада orange.
Финал. 10-11 классы.
(12-е классы не участвовали в первом оранже)
1. По кругу записано n различных чисел. Каждое из них равно произведению двух своих соседей. Сколько чисел записано?
2. Доказать, что уравнение (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.
3. Чему равен остаток от деления 19992000 на 16 ?
4. Двое по очереди ставят королей на клетки доски 9Ч9 так, чтобы они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
А если доска 8Ч8?
5. Найти углы треугольника ABC, если высоты ha, hb удовлетворяют неравенствам ha ≥ a, hb ≥ b.
6. Решить уравнение: 
.
