ОТЗЫВ
официального оппонента о диссертации Тарасенко Антона Сергеевича
"АСИМПТОТИКА ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ВЫШЕ УДАЛЯЮЩЕЙСЯ ГРАНИЦЫ", представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика.
Тарасенко посвящена исследованию асимптотических свойств распределения времени пребывания траектории случайного блуждания с нулевым сносом за nшагов выше прямолинейной, а в некоторых случаях и криволинейной границы, которая удаляется вместе с ростом числа n. Эта тематика весьма актуальна. Исследованияразных аспектов времени пребывания проводились в работах многих авторов, среди которых следует упомянуть монографии Ф. Спицера, и , и, публикации последних лет и ряд других. В то же время следует отметить, что объект труден для изучения, поэтому существует еще определенное количество нерешенных задач, связанных с временем пребывания случайного блуждания в том или ином множестве.
Цель диссертации состоит в получении ряда теорем обасимптотических разложениях для математического ожидания времени пребывания, а также получение оценок в виде неравенств длямоментов более высокого порядка этой величины. К основным достижениям диссертационной работы относятся следующие результаты.
1. Получены неравенства, устанавливающие оценки сверху для моментов времени пребывания случайного блуждания на полуоси. Эти результаты составляют содержание первой главы диссертации. Доказана предварительная теорема, устанавливающая оценки сверху и снизу для математического ожидания функций от времени пребывания выше произвольного уровня (обозначим его b), из которой в качестве следствий полученынеравенства, устанавливающие оценки сверху для моментов времени пребывания случайного блуждания на полуоси. Результаты получены для двух основных классов случайных блужданий: для тех, у которых распределение приращений быстро убывает на бесконечности (выполняется условие Крамера) и для распределений с так называемыми тяжелыми хвостами. Дополнительно в первой главе обсуждается точность полученных оценок. Показано, что в ряде случаев установленные оценки сверху совпадают по порядку с главными членами асимптотики изучаемых величин, если b=b(n)→∞.
2.При выполнении условия Крамера найден главный член асимптотики для математического ожидания времени пребывания случайного блуждания выше растущего уровня. Этот результат получен с помощью известных теорем об асимптотике вероятностей больших уклонений для сумм независимых слагаемых. Более того, при дополнительном требовании о существовании абсолютно непрерывной компоненты распределения скачков блуждания найдены полные асимптотические разложения указанного математического ожидания. Этот результат технически весьма сложен, он получен с помощью контурного интегрирования применением одной из модификаций метода перевала, причем автору пришлось здесь преодолеть существенные трудности, связанные с наличием полюса третьего порядка вблизи точки перевала. Здесь за основу взятынайденные факторизационные представления для производящей функции искомого математического ожидания и ряд аналитических свойств компонент факторизации, установленных в ранних работах .
3. Найдена асимптотика математического ожидания времени пребывания выше удаляющегося уровня для случайных блужданий, у которых распределенияприращений имеют тяжелые хвосты. Результаты получены для двух ситуаций: когда правый хвост распределения скачка является правильно меняющейся функцией и когда этот хвост распределения есть (в терминологии )семиэкспоненциальная функция. В первом случае найдена также искомая асимптотика при рассмотрении времени пребывания выше криволинейной границы. Эти результаты составляют содержание третьей главы.
Диссертация являет собой законченное исследование. Диссертантуудалось решитьнесколько трудных задач, касающихся характеризации общих свойств траекторий случайных блужданий. Автор проявил изобретательность и умение преодолевать технические сложности. Содержащиеся в диссертации теоремы и методы их получения представляют большой научный интерес; полученные результаты являются новыми и полностью доказанными. Содержание диссертации своевременно опубликовано в трех статьях. Автореферат правильно отражает содержание диссертации.
Считаю, что диссертационная работа удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к кандидатским диссертациям, а ее автор, , заслуживает присуждения ему ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика.
Кандидат физико-математическихнаук,
доцент, заведующий кафедрой высшей математики
Федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего образования
"Новосибирский государственный технический университет"
E-mail: *****@***nstu. ru
Адрес: 630073, г. Новосибирск, , тел.: +7 (383) 346 08 43, факс:+7 (383) 346 02 09,
эл. почта: *****@***ru
__1__ сентября 2016 г.
