Теоретические вопросы к экзамену
по дисциплине «Высшая математика»
(2семестр, специальности ООС, ТПП)
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Определение определенного интеграла, его геометрический и механический смысл Основные свойства интегралов. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Примеры. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат и в случае параметрического задания границы области. Примеры. Полярная система координат на плоскости. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Примеры. Вычисление длины дуги плоской кривой. Примеры. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Примеры. Физические приложения определенного интеграла. Примеры. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку). Примеры. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций). Примеры.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общие понятия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши ДУ 1-го порядка. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными. Примеры. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка, метод их решения. Примеры. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли, метод их решения. Примеры. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Основные понятия. ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка. Примеры. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (ЛДУ). Общие понятия. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения однородного ЛДУ. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) n-го порядка. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Примеры. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами. Примеры. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ. Метод неопределенных коэффициентов. Примеры. Интегрирование ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных. Примеры. Системы дифференциальных уравнений. Примеры.КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Криволинейные интегралы первого рода, их основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов первого рода, их геометрический и физический смысл. Примеры. Криволинейные интегралы второго рода, их основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов второго рода, их физический смысл. Примеры. Формула Грина. Примеры. Условия независимости КРИ-2 от пути интегрирования. Примеры. Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы второго рода Элементы теории поля. Поток, дивергенция, Теорема Остроградского – Гаусса. Примеры. Циркуляция, ротор, Теорема Стокса. Примеры. Соленоидальные и потенциальные поля. Потенциал векторного поля. Примеры.РЯДЫ
Числовые ряды, их свойства. Необходимый признак сходимости. Примеры. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: Признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Примеры. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения. Примеры. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Основные табличные разложения в ряд Маклорена. Приближенное вычисление значений функций в точке
. Примеры. Приближенное вычисление определенных интегралов. Примеры. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Примеры. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Случайные события. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. Примеры. Элементы комбинаторики. Примеры. Геометрическая вероятность. Примеры. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры. Формула полной вероятности и Байеса. Примеры. Схема Бернулли. Формула Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа. Примеры. Понятие случайной величины. Функция распределения. Дискретные случайные величины. Примеры. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Примеры. Математическое ожидание случайной величины и ее свойства. Примеры. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Примеры. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Равномерное распределение. Примеры. Показательное (экспоненциальное) распределение. Примеры. Нормальное распределение. Правило «трех сигм» для нормального распределения. Примеры.ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Выборка, вариационный и статистический ряд, статистический закон распределения. Пример Полигон частот (относительных) частот. Гистограмма частот (относительных частот). Эмпирическая функция распределения. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Проверка значимости коэффициента корреляции. Определение коэффициентов уравнения линейной регрессии метод наименьших квадратов.